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无网格方法在偏微分方程数值解中的应用研究

龚炜  
【摘要】: 本文的主要目的是研究无网格方法,并将其应用于偏微分方程的数值解过程中。与传统的网格方法不同,无网格方法的核心是用“点云”离散求解区域,并基于当地点云离散结构,引入二次极小曲面逼近空间导数。本文先以代表定常不可压位势绕流的Laplace方程为例,研究了Laplace方程的无网格离散形式,并运用GMRES高效算法对其快速求解,数值模拟了典型的圆柱绕流;并通过不同点云尺度的数值模拟,显示出点云尺度对计算精度的影响。在此基础上,将该方法推广应用到解算Euler方程组。针对守恒型Euler方程组的无网格离散形式,借鉴非结构网格方法附加耗散模型,采用五步Runge-Kutta显式时间推进格式求解。并且基于点云离散结构,引入了当地时间步长、残值光顾等加速收敛技术,数值模拟了对称和非对称翼型绕流,获得较好的计算结果。本文还对基于点云结构的无网格计算软件的面向对象设计模式进行了研究,着重于提高软件的复用性和灵活性,划分了此类软件中的基本功能类,提出了一系列常用设计模式,对无网格计算软件整体框架设计进行了有意义的探索工作。


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