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时滞状态反馈下Duffing系统动力学研究

王怀磊  
【摘要】: 本文详细研究经典摄动法直接应用于时滞动力系统时的有效性及适用性问题,用不同方法系统分析了时滞状态反馈下的Duffing系统关于时滞的大范围分叉模式和复杂动力学行为。 首先,用Fredholm择一方法分析了一具有时滞速度反馈的非线性振动系统的Hopf分叉,得到了局部分叉周期解的近似表达式,确定了分叉解的分叉方向及稳定性。结果表明,随着时滞从零不断增大,系统平衡点将有可能发生稳定性切换,并在每一有可能发生稳定性切换的临界时滞处发生Hopf分叉,并且分叉解的稳定性在二维局部中心流形上交替变换。此项研究的意义是它可作为后文研究的比较基准。 其次,以一具有时滞速度反馈的Duffing系统为例,研究了经典摄动法如多尺度法,Poincaré-Lindstedt法等在求解时滞微分方程级数解时的适用性和局限性问题,指出利用这些方法只能有效求得系统的前两阶近似解,而在求系统的三次以上近似解时会出现矛盾或二义性。 然后设计了用于计算自治时滞动力系统周期解的打靶法,并用其验证了用多尺度法所得结果的准确性。数值研究表明,虽然多尺度法在时滞动力系统的分析中存在一些不足,但在揭示系统的主要动力学方面仍然十分有效。 接下来用多尺度法及数值方法研究了一具有时滞位移反馈的Duffing系统的动力学,得到了不同参数下系统平衡点发生稳定性切换时的临界时滞计算公式及关于时滞的大范围Hopf分叉图,并发现Saddle-Node分叉及Hopf分叉是系统出现周期运动的两个主要的来源。通过发现时滞动力系统一个简单而实用的性质,即“周期解解关于时滞的周期性”,论证了分叉图中无限多分支的正确性。此外,用时滞系统的有限维吸引域方法初步探索了为何部分理论分析预测的周期解无法通过数值法得到。在该系统中还发现了二维环面通向混沌的特殊道路。 最后,研究了时滞位移反馈与时滞速度反馈联合作用下Duffing系统的平衡点的稳定性切换及全局Hopf分叉。根据对系统参数的适当划分,给出了在不同参数组合下系统平衡点发生稳定性切换时的临界时滞计算公式,并发现系统的分叉只是包含系统仅有其中一种时滞反馈类型时的分叉类型,而并没有出现新的分叉类型。利用打靶法的数值结果说明了当系统平衡点不再发生稳定性切换时,源自这些临界时滞处的解支的稳定性在整个解空间的稳定性具有不可判定性,这也说明由多尺度法所得高阶近似判定的解支的稳定性事实上只表示解支在局部中心流形上的稳定性,而非在整个解空间中的稳定性。此外,通过对该系统的研究还发现了自治时滞动力系统有别于常微动力系统的一些特殊性质。


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