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非线性互补问题的Derivative-Free下降方法与同伦方法研究

丁军娣  
【摘要】: 非线性互补问题(NCP)最早是1964年Cottle在他的博士论文中提出的,1966年Hartman和Stampacchia将非线性互补问题(NCP)与变分不等问题(VIP)联系在一起。到了七十年代末和八十年代初,关于非线性互补问题的研究蓬勃发展起来。 非线性互补问题在许多领域都有着广泛的应用,诸如数学规划(mathe-matical programming),经济均衡模型(economics equilibrium models),决策论(gamestheory)等([10],[16],[24]etc)。 在本篇论文中,我们从两个方面考虑非线性互补问题的解决方法,一个是利用原始问题的极小化等价变形,给出了求解约束极小化问题的derivative-free下降算法;另一个是利用方程形式等价变形,构造了新的同伦方程并给出了相应的算法。整篇论文的主要内容如下: 第一章,我们介绍了互补问题的起源以及各种互补问题的定义,并且列出了一些本文要用到的定义、引理等预备知识。 第二章,我们集中讨论了原始的非线性互补问题在经过merit函数的极小化变形之后的解决方法。利用merit函数的极小化变形可分为无约束和约束两种类型。无约束极小化变形的研究比较多,已经有了很多种算法,理论上也相对完备,但对于约束极小化变形,据作者所知,至今还没见过这方面的算法。我们在这一章里就考虑了NCP(F)的约束极小化变形,通过限制的NCP函数来构造NCP问题的merit函数,将原始的问题NCP(F)转化为(?)_+~n上的约束极小化问题,并构造相应的derivative-free下降算法。 在证明了所构造的derivative-free算法的合理性以及整体收敛性之后,我们将所构造的算法与以前已经存在的无约束型的derivative-free算法进行了比较。所做的数值模拟都表明,我们的算法在迭代次数上具有明显的优势,而且,我们的算法对于初始点的变化以及问题维数的增加显示了很强的适应能力。 第三章,我们考虑了利用原始问题方程形式的等价变形,来解决非线性互补问题的方法。我们首先总结了这一类等价变形中的几种主要的方法,并给出了一些数值模拟实例,然后我们考虑了解决非线性互补问题的同伦 方法。通过建立一个新的同伦方程,将NcP(F)的求解间题转化为同伦方程 的求解问题。在不需要非线性映照F(二)的Jacobian矩阵甲F(二)正则或非奇异 的限制下,我们证明了所构造的同伦方程有一条从(二(0),l)出发的有界的解 曲线,而其终点就是我们要求的NcP(F)的解。最后,我们建立了相应的同 伦算法以及解其中微分方程初值问题的曲线跟踪法,具体的实验例子也证 实了我们所提出方法的有效性。 第四章,我们总结了全文,并提出了一些研究的展望。


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