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分数阶微积分及其在数字水印中的应用研究

万晶晶  
【摘要】: 分数阶微积分包括分数阶微分和分数阶积分,它的含义就是将普通意义下的微积分的运算阶次从整数阶推广到非整数的情况。从分数阶微积分最早提出开始,到现在已经有三百多年历史,由于实现计算复杂度比较高的原因,因此一直只能局限于理论研究领域。近年来,随着计算机科学的发展,计算能力的提高,分数阶微积分的计算和实现成为可行,分数阶微积分运算才被工程研究人员所认识和研究。 本文的主要研究内容有以下几点: (1)分数阶微积分的基本理论分析:给出了分数阶微积分的不同定义形式,并对目前比较流行的分数阶微积分计算方法进行了仿真分析。首先对于分数阶微积分的不同定义方式进行了验证,然后,对同一信号进行不同定义方式下的分数阶微积分仿真计算,比较所得到的结果,进一步地分析各种算法定义之间的差别。 (2)对分数阶微分方程的解法进行了研究:首先回顾了传统微分方程的求解步骤与结果,然后通过对比两种微分方程求解过程的异同点,引出了一种解决分数阶微分方程的求解方法;其次利用计算机的数值计算能力,结合分数阶微积分的计算方法,给出了分数阶微分方程的数值仿真结果。 (3)将分数阶微积分应用于数字水印技术:利用分数阶微积分的运算阶次作为通信双方的保密密钥,进行水印信息的嵌入和提取,分析了所实现的水印模型的性能,特别是对于运算阶次敏感性方面进行了深入的探讨,得出了利用分数阶微积分的运算阶次作为水印密钥的高度保密性能和良好的抗攻击性能。


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