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收缩定义域上的Sturm-Liouville问题

吴春连  
【摘要】:本文主要考虑收缩定义域上Sturm-Liouville问题。 第一部分为引言及预备知识,介绍一类Sturm-Liouville方程定义域收缩的物理背景,以及有关定义域收缩问题已取得的研究成果。并介绍一些基本概念如正则(奇型)Sturm-Liouvilie方程,特征值,特征函数等。 源于文献[20]的思想,在第二、三部分,我们讨论满足一般分离型自伴边条件(共四种情况)的正则Sturm-Liouville方程定义域收缩时特征值的渐进估计问题,特征值的估计式与方程的系数在收缩点处的函数值有关。推广[20],主要结果如下: 当a→0~+时,考虑如下方程 (1)满足条件Y(0)=0,Y(a)=0,若R(0)0,则λ_0(a):-((q_0)/(γ_0))+O(1/a),λ_γ(a)-((γπ)~2p_0)/(γ_0))a~(-2);若R(0)=0,Q(0)≠0,则λ_0(a)=O(a~(-(S+1))),λ_γ(a)-((p_0μ_γ~0)/(γ_S))a~(-(2+S));若R(0)=0,Q(0)=0,则λ_γ(a)-((p_0μ_γ~0)/(γ_S))a~(-(2+S)),当N≠S时,λ_0(a)=O(a~(-(S+1))),当N=S时,λ_0(a)=-((q_N)/(γ_S))+O(a~(-(S+1))). (2)满足条件Y(0)=0,Y(a)H-p(a)Y'(a)=0,若R(0)0,则λ_0(a)=-((q_0)/(γ_0))-((H~2)/p_0γ_0))+O(1/a),λ_γ(a)-((t_γ~2P_0)/(γ_0))a~(-2);若R(0)=0,Q(0)≠0,则λ_0(a)=O(a~(-(S+1))),λ_γ(a)-((p_0μ_γ~0)/(γ_S))a~(-(2+S));若R(0)=0,Q(0)=0,则λ_γ(a)-((p_0μ_γ~0)/(γ_S))a~(-(2+S)),当N≠S时,λ_0(a)=O(a~(-(S+1))),当N=S时,λ_0(a)=-((q_N)/(γ_S))+O(a~(-(S+1))). (3)满足条件Y(0)h-P(0)Y'(0)=0,Y(a)=0,若R(0)0,则λ_0(a)=-((q_0)/(γ_0))+O(1/(a~2)),λ_γ(a)-((t_γ~2p_0)/(γ_0))a~(-2);若R(0)=0,Q(0)≠0,则λ_0(a)=O(a~(-(S+2))),λ_γ(a)-((p_0μ_γ~0)/(γ_S))a~(-(2+S));若R(0)=0,Q(0)=0,则λ_γ(a)-((p_0μ_γ~0)/(γ_S))a~(-(2+S)),当N≠S时,λ_0(a)=O(a~(-(S+2))),当N=S时,λ_0(a)=-((q_N)/(γ_S))+O(a~(-(S+2))). (4)满足条件Y(0)h-P(0)Y'(0)=0,y(a)H-P(a)Y'(a)=0,若R(0)0,则λ_0(a)=-((q_0)/(γ_0))+(H-h)O(1/a),λ_γ(a)-((t_γ~2p_0)/(γ_0))a~(-2);若R(0)=0,Q(0)≠0,则λ_0(a)=O(a~(-(S+1))),λ_γ(a)-((p_0μ_γ~0)/(γ_S))a~(-(1+S));若R(0)=0,Q(0)=0,则λ_γ(a)-((p_0μ_γ~0)/(γ_S))a~(-(1+S)),当N≠S时,λ_0(a)=O(a~(-(S+1))),当N=S时,λ_0(a)=-((q_N)/(γ_S))+O(a~(-(S+2)).


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