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广义分数阶粘弹性力学的理论研究

杨小军  
【摘要】:实际材料的流变现象中通常存在着幂律和分形特征,这是由流变材料结构复杂性和行为复杂性所决定的。目前,整数阶的粘弹性理论在描述分形流变行为时具有局限性,难以有效刻画流变的复杂性本质。在固体物理的幂律和分形行为的流变研究中,广义分数阶微积分学算子扮演着重要的角色。本文从广义分数阶微积分学算子的观点出发,首次提出了广义分数阶粘弹性力学的数学模型。利用非奇异幂律核函数的、一个参数正Mittag-Leffler幂律核函数的、一个参数负Mittag-Leffler幂律核函数的、二个参数正Mittag-Leffler幂律核函数的、二个参数负Mittag-Leffler幂律核函数的、三个参数正Mittag-Leffler幂律核函数的、三个参数负Mittag-Leffler幂律核函数的、带有标准化参数的负指数核函数的Riemann-Liouville型和Liouville-Caputo型的广义分数阶导数,负指数核函数的Riemann-Liouville型和Liouville-Caputo型的广义导数和局部分数阶导数,探讨了一维粘弹性力学模型的微分和积分形式的本构方程、松弛模量及蠕变柔量。利用提出的广义微分算子的本构关系,建立了相应的弹性元件、粘性元件、Maxwell元件和Kelvin-Voigt元件。详细地比较了Newton-Leibniz导数,负指数核函数的Riemann-Liouville型和Liouville-Caputo型的广义导数,非奇异幂律核函数的、一个参数正和负Mittag-Leffler幂律核函数的、二个参数正和负Mittag-Leffler幂律核函数的、三个参数正和负Mittag-Leffler幂律核函数的、带有标准化参数的负指数核函数的Riemann-Liouville型和Liouville-Caputo型的广义分数阶导数及局部分数阶导数的粘弹性力学模型。这些广义分数阶导数为描述实际材料的粘弹性力学行为特征提供了一个新方法,且得到更深刻和更本质的理论表述。


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