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约束力学系统对称性和守恒量理论中的若干问题研究

韩月林  
【摘要】:本文以约束力学系统对称性和守恒量理论中的若干问题研究为主题,主要研究三大力学体系(Nielsen体系、Appell体系和Lagrange体系)的对称性与守恒量问题.对称性主要有三种:Mei对称性,Lie对称性和Noether对称性.守恒量主要有Mei守恒量,Hojman守恒量和Noether守恒量.本文着重对Mei对称性和Lie对称性以及他们导致的守恒量做具体研究. Nielsen体系的对称性与守恒量的研究比较成熟,但这些研究主要针对的是双面约束的情形,而对单面的约束系统以及新型守恒量的研究还较少. Appell体系的对称性与守恒量的研究成果相对较少.2008年,贾利群、解加芳和郑世旺研究了Appell方程的Mei对称性,该研究得到的结构方程和守恒量是直接用Appell函数表达的,但这一方法并未得到有效的推广与应用. Lagrange体系也是三大力学中重要的一种.为了完善Lagrange体系的对称性与守恒量理论,还需要做大量研究. 本文研究的主要目的是:更进一步完备Nielsen体系的对称性与守恒量理论;弥补Appell体系对称性与守恒量理论研究的不足,并取得一些重要成果;完善Lagrange体系对称性与守恒量理论.章节的具体安排如下: 第一章:概述对称性理论的认识过程及其与守恒量理论的关系,介绍对称性与守恒量的研究意义和国内外研究现状,阐明本文拟解决的关键问题和创新成果. 第二章:简介本文的研究涉及到的一些基本概念以及重要的对称性方法和定理. 第三章:主要研究单面完整约束系统Nielsen方程Mei对称性导致的一种新型守恒量.建立在Nielsen体系下的运动微分方程.在相应约束下,给出Mei对称性的定义以及判据.得到Mei对称性的结构方程及其导致的新型守恒量表达式. 第四章:首先研究了弱非完整系统Appell方程的Lie对称性与近似Hojman守恒量和Chetaev型非完整系统Appell方程的特殊Lie对称性与Hojman守恒量.建立系统的用Appell函数表达的运动微分方程,给出系统Appell方程Lie对称性或特殊Lie对称性的定义与判据,得到对称性导致的Hojman守恒量表达式.然后研究了完整系统Appell方程Mei对称性的共形不变性与守恒量.分别给出系统Mei对称性和共形不变性的定义.得到Mei对称性的共形不变性的确定方程.运用满足结构方程的规范函数推导出Mei守恒量. 第五章:本章主要研究弱非完整系统Lagrange方程的Lie对称性与近似Hojman守恒量、研究弱非完整系统Mei对称性导致的新型精确和近似守恒量.建立系统的运动微分方程,定义弱非完整系统和一次近似系统的对称性,得到对称性导致的精确和近似守恒量. 最后,总结本论文的创新点、方法和主要工作;对该领域的应用前景和可继续做的工作进行展望.


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