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几类时滞复杂动力网络的同步研究

郑松  
【摘要】:复杂网络是由具有一定特征和功能的、相互关联及相互影响的基本单元所构成的复杂集合体。十几年来,国内外掀起了研究复杂网络的热潮。许多来自物理、生物、数学和计算机等领域的研究者都开始致力于复杂网络的研究。许多复杂系统可以从实际背景出发,描述为复杂网络,例如英特网、万维网、电力网、铁路网等。复杂网络研究的最终目的是了解网络的结构对发生在网络上的动力学行为的影响。同步是复杂网络上一种最常见的动力学行为。最近,网络同步的研究迅速引起了不同领域学者的广泛关注。通过对复杂网络同步的研究,一方面我们可以更好地理解网络结构对同步能力的影响,另一方面可以提高有益网络的同步能力或降低有害网络的同步能力。因此,复杂网络的同步研究具有较大的理论意义和应用价值。 由于时滞现象广泛存在于自然界中,因此在现实的复杂动力学网络中,各状态变量和耦合因子之间常常会存在着时间滞后。本文把时滞系统稳定性分析理论、矩阵理论和控制理论等理论应用到复杂网络中,对几类时滞复杂动力学网络的同步进行了深入研究,主要内容包括以下几个方面的研究工作: 第一章,简要介绍了与后文相关的一些非线性动力学和复杂网络的预备知识,并指出目前复杂动力学网络的同步与控制研究现状,最后阐述了本论文的主要研究内容。 在第二章,我们主要讨论了时滞复杂网络的投影同步问题。首先,在复杂网络的研究中,拓扑结构识别和参数识别是个挑战性的问题。我们采用自适应控制方法实现了时变时滞耦合复杂网络的投影同步,同时也能很好地识别出未知的网络拓扑结构和系统参数。其次,探讨了驱动-响应延迟耦合时变复杂网络系统的投影同步问题。利用一个混合控制方法即自适应-脉冲控制方法,给出了时变网络投影同步的判定准则。数值模拟发现,与仅仅考虑脉冲控制和自适应控制方案相比,该方法具有明显的优越性。 第三章,在现实世界中,我们通常把节点性质类似的节点看成一个网络,而把具有不同性质的节点当作多个网络来研究。本章基于自适应-脉冲控制策略研究了广义耦合复杂网络间—即两个具有时滞和非时滞耦合项的复杂网络间的同步问题。通过数学上的严格证明给出了同步的相关准则,同时设计了连续控制输入,简单的自适应律和一个线性脉冲控制器。特别地,权重矩阵不要求是对称的和不可约的,内耦合矩阵也不要求是对称的。 第四章,在复杂网络的研究中,关于耦合时滞的复杂网络同步研究较多。然而,有相当一部分动力学节点的状态变量之间存在着时间滞后的现象。这种现象更为复杂更为重要,但是对于这种节点动力学行为中含有时滞现象的网络研究却很少。本章中,分别利用线性反馈控制和自适应控制方法,研究了具有不同时滞节点组成的两个相互延迟耦合的复杂网络间的同步问题。 第五章,利用牵制控制策略研究了两个广义线性耦合的复杂网络间的内部同步和外部同步问题,即每个网络内部实现同步的同时两个网络间也获得同步。基于Lyapunov急定性理论及Lasalle不变集原理,我们得到了内部同步和外部同步的充分条件。 第六章,总结了本文取得的成果,同时指出了存在的不足和尚待解决的问题,指出了今后的工作方向。


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