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李对称方法及其在微分方程中的应用

凌旭东  
【摘要】: 本课题主要研究李对称方法(Lie symmetry)在微分方程中的应用。李对称提供了一套系统的方法,使得微分方程达到降阶的目的。通常使用标准方法解微分方程时,有时太过于复杂。利用李对称方法,在一定的条件之下使得解题更为简洁,也达到解出方程的目的。对于偏微分方程来说,研究其群不变解和对称约化有重要的意义,为偏微分方程的研究提供了有力的工具,并且对于有些方程能够大大减少其求解方程的计算量,能够对方程进行有效的求解。 第二章对微分方程及其对称的一些基本知识做了介绍。主要介绍了向量场的定义、代数方程的不变群、微分方程的不变群、延拓、不变群的生成元、微分方程的对称等概念,这些知识为下面的研究打下了一定的基础。 第三章研究了广义KDV方程的群不变解。利用李群对称的待定系数法,求出了广义KDV方程的对称,最后选用一些简单的对称将方程约化为常微分方程,并求出了广义KDV方程的一些群不变解。 第四章研究了广义变系数KDV方程的对称约化及其群不变解。利用经典李对称的方法对广义变系数KDV方程进行研究,通过这种方法得到了该方程的一个新的精确解。 第五章研究了一类任意阶偏微分方程的非古典对称和相容性。讨论了一类任意阶微分方程的非古典对称的决定方程。非古典对称的决定方程传统的获得方法是利用向量场和它的延拓来得到的。在这一章,我们拓展了文献[45]通过初始方程和不变曲面条件相容性获得决定方程的方法,文献[45]讨论的是如何通过初始方程和不变曲面条件相容性获得一类演化方程的决定方程,我们将这个方法进行改进,使该方法适用于一类任意阶非线性偏微分方程,以BBM方程为例证明了这种方法是可行的。


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