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一类带色散项浅水波方程的极限行为和适定性理论

方国昌  
【摘要】: 本文主要研究了一类带色散项非线性浅水波方程的极限行为和Cauchy问题的适定性理论。DGH方程(Dullin-Gottwald-Holm方程,简称为DGH方程)是Dullin,Gottwald,Holm从Euler方程出发,利用渐近扩张思想研究无旋不可压缩无粘浅层受地球重力和流体自身表面张力影响的运动规律,得到的一类1+1维新型单向浅水波方程。D-P方程(Degasperis-Procesi方程,简称D-P方程)是Degasperis和Procesi得到的,他们发现只有三类方程满足这一族的渐近积分情况:KdV方程,Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程,因而它们具有相似的性质。 第二章主要研究带色散项DGH方程初值问题的局部适定性,blow-up问题,运用Kato定理,得到了初值问题的局部适定性理论;在对初值问题的奇异性的讨论中获得了blow-up存在的一个充分性条件。第三章主要研究了一类非线性色散浅水波方程(DGH方程、带色散项D-P方程)的可积性问题,应用对称法结合数论方法,通过研究相应的非齐次微分多项式的可积性,应用可积性测试得到方程的可积性。第四章主要研究带色散项DGH方程的初值问题的解与相应的Camassa-Holm方程的解之间的关系,通过对线性化带色散项DGH方程的基本解的讨论,证明了当色散系数γ趋于零时,带色散项DGH方程的解趋近于Camassa-Holm方程的解。第五章主要研究带色散项D-P方程初值问题的局部适定性、整体适定性,运用Kato定理,得到了初值问题的局部适定性理论,通过先验估计得到当初始位势满足一定的正定性条件时,相应的解具有整体适定性。


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