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一类非线性波动方程的孤立波研究

于水猛  
【摘要】: 非线性现象是自然界中普遍存在的一种重要现象。非线性科学是随着研究非线性现象问题而形成的一门科学,它的研究主体是孤立子、混沌和分形。许多实际的非线性问题最终都可归结为非线性系统来描述。随着对非线性问题的重视,关于非线性系统的研究成为当今国内外学术研究的重点和热点问题。 在非线性系统中,非线性波动方程的孤立子理论研究是其中一个重要和热点内容。对于孤立子相关性质的研究在揭示波的传播规律、准确解释自然现象和确定物理材料属性等方面均具有极大的科学研究和应用价值。 在过去的几十年中,关于非线性波动方程的孤立子理论研究,特别是孤立波的研究发展迅速,创造了求解非线性波动方程的孤立波的许多方法:有反散射方法、达布变换方法、贝克隆变换方法、分离变量法、双线性方法、Painleve截断展开法、CK直接法等。近来,随着计算机技术的发展,关于孤立波的研究越来越多的依赖于计算机软件的应用,随之产生了一系列求解非线性波动方程的新方法,并且这些方法逐渐的被应用到离散的非线性微分—差分系统中来研究离散系统的孤立波问题。这类方法已成为近来求解非线性波动方程解的重要研究内容。 本文第一、二章首先介绍了非线性波动方程及孤立子理论的研究背景、研究进展和发展现状和意义,总结并分析了现有的求解非线性波动方程的方法。随后介绍了本文研究非线性波动方程孤立波所用的方法及涉及的相关的概念、定理。 第三章研究了一类非线性波动方程的奇异孤立波。通过把一些经典的方法进行改进,推广到非线性项更复杂的非线性波动方程——双sine-Gordon方程,获得丰富的孤立波(扭结解,反扭结解,周期孤立波),并发现了一种新型的不连续解,应用守恒律方程理论,证明其为不连续孤立波;进一步研究充分非线性近似双sine-Gordon方程得到了方程的紧孤立子,尖峰孤立子,多重紧孤立子,多重尖峰孤立子和不连续孤立波;特别引入非线性强度概念,研究充分非线性Klein-Gordon型方程,应用改进的广义映射Riccati方程方法求解得到丰富精确解及多重紧孤立子和奇异的不对称紧孤立子。 第四章讨论了变系数广义KdV方程的广义孤立子问题。应用辅助方程法,构造辅助方程求得变系数广义KdV方程的多种精确解,如三角函数解,孤立波形式解,孤立波解,Jacobi和Weierstrass椭圆函数解,并且还发现了一种奇异的扭结解——不对称扭结解;这种方法还提供了根据不同的参数值分类方程解的方法。这种方法与其它方法比较,具有计算量小,得到的结果丰富的优点,可以广泛的应用到其它许多变系数非线性方程的求解问题中;随后我们又应用指数函数法研究该方程,借助计算软件Mathematica得到了变系数广义KdV方程的广义孤立子和周期孤立波。 第五章从定性角度研究了非线性双sine-Gordon方程行波解。通过研究该方程的相图分岔,分析其动力学性质,从中寻找同宿轨和周期轨,根据相图分岔理论,我们可以得到方程的孤立波和周期尖波的解析表达式,并得到周期尖波的极限与同宿轨对应的孤立波极限保持一致,它们的极限就是尖峰孤立子;进一步给出不同参数条件下方程的尖峰孤立子和反尖峰孤立子,周期孤立波,扭结解和反扭结解的表达式,通过数值模拟给出了部分解的图像。 第六章研究非线性微分—差分系统。本章对tanh函数展开法进行推广,在经典tanh展开法基础上,通过增加负幂形式的项,并且多项式的元素不再仅仅是双曲正切函数,而是满足一个Riccati方程,提出广义tanh-sech法应用到非线性微分—差分sine-Gordon方程,求得该方程的孤立波。该方法可看作是双曲函数及一些相应扩展形式的概括,这种方法得到比其它方法更多的非线性微分—差分sine-Gordon方程的孤立波,说明广义的tanh-sech法在求解非线性微分—差分方程方面的有效性。此外,改进原有的F-展开法来研究非线性微分—差分sine-Gordon方程,得到了该方程大量不同类型的孤立波,极大地丰富了孤立波的种类和数量。 第七章是对研究内容的总结和展望。


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