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一类浅水波系统的孤波分析

殷久利  
【摘要】: 浅水波系统的研究可以从理论上把握港湾的潮汐、涌浪,溃坝,水环境污染、海啸等问题的规律。随着海洋开发、灾害预防、环境保护等方面发展的需要,浅水波系统的研究已成为国内外研究的热门课题之一。孤立波相关性质的研究在揭示波的传播规律、准确解释自然现象和确定物理材料属性等方面均具有极大的科学研究和应用价值。 本文研究了一类浅水波系统,该类系统是与KdV方程有着紧密联系的一系列浅水波方程。本文研究内容主要包括:系统的Painleve性质、显式孤立波构造、Backlund变换、行波分类和孤立波的稳定性以及海啸模型研究等。 第一章介绍了浅水波系统和孤立子理论的研究背景和现状。 第二章讨论了浅水波系统的Painleve性质。利用WTC-Kruskal判别法,发现了一类具有Painleve性质的浅水波方程。通过研究该方程中非线性项系数对Painleve性质的影响,我们进一步得到了两类具有Painleve性质的新方程。 第三章讨论了浅水波系统显式孤立波的构造问题。把一些经典的构造方法加以改进,推广到非线性项较复杂的浅水波系统,并且获得了丰富的孤立波解,特别是发现了一些新型孤立波解,如多重compacton解,kink-compacton解,非指数型peakon解和组合波解等 第四章讨论了浅水波系统的Backlund变换问题。受一种代数求解方法的启发,构造了一种求两个方程解之间Backlund变换的新方法。利用改进的齐次平衡法研究了同一浅水波方程两个解之间的Backlund变换,并且获得了一些新型孤立波解,即带尖点或奇异点的双孤立波解。利用Painleve截尾法获得了浅水波方程的auto-Backlund,并且发现与改进的齐次平衡法获得的结果是一致的。 第五章讨论了浅水波系统行波的分类问题。利用在极值点和奇点的定性分析结果,对浅水波系统的行波解进行了分类,确定了更加丰富的行波解形式,特别是获得了一些特殊形式的孤立波解。本章主要从以下方面改进了上述定性分析方法:考虑了对流项系数对解形式的影响,研究了光滑解演变为非光滑解的条件,借助定性分析的结论求出了系统的新型显式解。 第六章讨论了浅水波系统孤立波的稳定性问题。利用浅水波系统的一些重要的守恒量和Hamilton结构,分别研究了浅水波系统的光滑孤立波解的轨道稳定性和紧孤立波解的线性稳定性,并且证明了在一定条件下这些孤立波解是稳定的。 第七章讨论了浅水波系统在海啸模型研究中的应用。通过总结已有的科研成果,给出了海啸和浅水波的关系、海啸的成因和基本特征以及海啸源模型、传播模型的研究进展,为进一步开展海啸模型研究提供了理论参考。 第八章是总结和展望。


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