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若干非线性波方程的构造性求解研究

张纬民  
【摘要】: 众所周知非线性科学成为当代科学研究重要的前沿领域。近几十年来,随着科学技术的不断发展,各种非线性问题日益引起科学家和工程技术人员的兴趣和重视。特别是在近代物理和科学工程计算中的一些关键问题,归根结底都依赖于某些特定的非线性方程的求解。所以无论在理论研究方面,还是在实际应用中,非线性方程的求解都占有非常重要的地位。非线性方程的求解已成为广大科学工作者经常面临的问题。但构造非线性微分方程的解是既重要又困难的课题,需要灵活高效的数学工具。近年来,国内外的研究者在求解非线性微分方程方面做了大量的工作,获得了很多成果。本文在前人研究的基础上,构造性求解一些在科学和工程上具有重要意义的非线性波问题。本文研究内容主要包括 第一章介绍了非线性波动方程构造性理论求解的研究背景、研究进展、发展现状和意义,总结并分析了现有的求解非线性波动方程的方法。 第二章我们首先对DBM方程和Log—DBM方程作了简介,对WazWaz所提出的扩展的Tanh方法作了改进,扩大了其使用范围,并用改进后的Tanh方法研究了Log—DBM方程,得到了Log—DBM的丰富的行波解,包括周期波解,奇异孤立波解、双尖峰孤立波解,奇异周期孤立波解。用辅助函数得到了Log—DBM方程的Jacobi椭圆函数解;用拟设法研究了Log-DBM方程的类紧(Like-compact)孤立波解。 第三章利用扩展的Jacobi椭圆函数展开法研究了(ZK-MEW)方程,并给出ZK-MEW方程的Jacobi椭圆函数解,特别的,当模数m→0和m→1时,其中一部分解退化为三角函数解和孤立波解;其次使用sn-cn拟设法,研究了K(k,s,1)方程,得到了k=s=3时的新的精确解,并在模数m→0和m→1时得到了丰富的三角函数和孤立波解。 第四章将Painleve奇性分析方法应用到带阻尼(damping)项的变系数Burgers方程中,并得到了该类Burgers方程具有Painleve性质的条件,给出了该类Burgers方程的Backlund变换,用所得Backlund变换得到了若干精确孤立波解,包括奇异孤立波解,这些解不等同于行波型孤立波解;用齐次平衡法得到了对数型DBM方程的Backlund变换,并获得了DBM方程的各种孤立波解,包括尖峰孤立波解和奇异尖峰孤立波解。 第五章利用Lie群分析法研究了带线性阻尼项的变系数广义Burgers方程。众所周知对称性约化是寻找和分析非线性数学物理方程精确解的有效手段之一。基于Lie群思想的群论法是对称性约化的主要方法。在这一章里,我们用Lie群分析法研究了带线性阻尼项的变系数广义Burgers方程。首先介绍了Lie群分析法的基本思想,其次用Lie群分析法得到了带线性阻尼项的变系数广义Burgers方程的无穷小变换、无穷小算子的李代数结构,并具体求出了带线性阻尼项的变系数广义Burger方程的群不变解和约化方程。 在第六章,我们将指数函数法(Exp-function method)应用到一类变系数非线性波方程中,借助计算软件Maple得到了组合变系数KdV-mKdV方程的广义孤立波解。通过研究,我们可以看出指数函数法在研究变系数非线性方程时有其明显的优点,算法简单,并在适当的变换下可得到周期波、奇异波、奇异周期波解和类紧解。 第七章是对研究内容的总结和展望。


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