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非线性偏微分方程几种解法的研究

杨洋  
【摘要】:在非线性物理学和力学中,常常把复杂的非线性系统简化为非线性演化或发展方程来研究,通过对这些非线性方程的解的研究来确定物理量之间关系。因此,求解非线性方程一直是力学、物理学等领域科学工作者致力于研究的极为重要的问题。近年来,随着符号计算的蓬勃发展,非线性偏微分方程的研究成果不断涌现,尤其是新的求解方法层出不穷。 这里以几个非线性偏微分方程为研究对象,借助于计算机符号软件,主要研究了tanh方法和指数函数方法在非线性偏微分方程精确求解中的应用,并且在许多专家学者所做的研究的基础上,提出了一种新的求解非线性偏微分方程精确解的方法,并用此方法得到了某些偏微分方程的一系列精确解。 首先分别简单介绍了tanh方法和指数函数法的基本思想,然后借助符号计算软件,分别运用tanh方法和指数函数法,解决了在物理学和力学上具有实际应用背景的常系数非线性偏微分方程和变系数非线性偏微分方程,得到了丰富类型的精确解。 其次在对非线性偏微分方程的解法进行了较为深入研究的基础上,基于F-展开法、指数函数法、齐次平衡法、(G'/G)展开法等方法提出了求解非线性偏微分方程精确解的一种新方法——(G'/(G+G'))展开法,并通过经典KdV方程、Burgers方程、KdV-Burgers方程和非线性Klein-Gordon方程加以验证了该方法求解非线性偏微分方程精确解的可行性。 最后以(3+1)维Jimbo-Miwa方程和变系数Kdv方程为例,运用(G'/(G+G'))展开法得到了一系列精确解,结果表明该方法在求解复杂的有实际意义的非线性偏微分方程和变系数偏微分方程精确解时具有同样的简洁性和有效性。


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