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几类非线性偏微分方程组的动力学研究

石磊  
【摘要】:本文利用扰动理论、弱线性分析、中心流形定理和规范型方法等数学理论和方法,对几类非线性偏微分方程组进行了动力学研究.本文的第一章,基于扰动理论和弱线性分析,考虑了一类特殊的作为振幅方程的偏微分方程组在一维区域(0,L)上Neumann边界条件下的解u(x,t)的渐进行为.对于稳态解(0,c),将区域长度L作为分岔参数,由扰动方法得到了从稳态解(0,c)分岔出的非平凡解的渐近形式,并讨论了分岔解的稳定性.另一方面,对于稳态解(c,1-c2)(c≠0),通过弱线性分析得出了从(c,1-c2)分岔出了树枝分岔以及在不同参数范围内分岔的方向.在第二章中,考虑了耦合的Kuramoto-Sivanshinsky 和Ginzburg-Laudau-type方程组在一维区域(0,L)上Neumann边界条件下的稳态平凡解及分岔解的渐近行为.由于方程组的第二个方程出现了四阶导数项,因此我们无法像第一章一样从它的稳态方程的第二个方程将一个变量用另外变量来表示,因此本章的讨论更为复杂.我们仍然使用扰动理论,讨论了几种不同的情况,得出了由平凡解分岔出的非平凡解的渐近形式,并且讨论了非平凡分岔解的稳定性,得出了使非平凡解稳定的参数范围.在第三章中,考虑了一类反应扩散方程组Gierer-Meinhard模型的Turing不稳定性和Hopf分岔问题.首先考虑了 Gierer-Meinhard模型所对应的常微分方程组的平衡点的稳定性以及Hopf分岔问题,得出了Hopf分岔的存在性,稳定性以及分岔的方向;其次讨论了既作为常微分方程组又作为偏微分方程组的平衡点的Turing不稳定性,得出了在某些参数范围下,稳定的平衡点在加了扩散项后变成了不稳定.最后运用中心流形定理和规范型方法等理论讨论了偏微分方程组的Hopf分岔的方向及稳定性问题,得出了在某些参数范围下,从Hopf分-岔点分岔出来的空间齐次周期解会因为扩散项的出现从稳定变为不稳定.在第四章中,我们考虑了一类Gierer-Meinhard模型的投影系统.我们讨论了稳态解的存在性,稳定性和分岔.通过使用椭圆积分理论,非线性泛函分析和分岔理论,得出了使得稳态解存在唯一且稳定的参数条件.更进一步的的,得出在某个临界点,有Hopf分岔发生.


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