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数论函数的某些性质

黄忠铣  
【摘要】: 设φ(n)表示n的欧拉函数,σ(n)表示n的所有正因子和,ω(n)表示n的不同素因子的个数。关于数论函数σ与φ的研究很多,文中我们对相关的数论函数的性质的研究进行了回顾,如nσ(n)≡2(modφ(n))的合数解,Lehmer猜想,k重完全数等等. 本文探讨同余式nσ(n)≡m(modφ(n))(4×m)的解情况,并且研究整除关系φ(n)|σ(n),具体地证明了: 定理1.设正整数n2,且满足 其中l_1为正整数(i=1,2,…,s),p_1,…,p_2为不相同的奇素数,则n具有如下形式: 特别地,nσ(n)≡p~l(modφ(n))的全部非平凡解为P~((k(P-1)),其中p为奇素数,l为正整数,1≤k≤(l+1)/(n-1),k为整数(n=1,2称为平凡解)。 定理2.设正整数n2,且满足 其中l_1为正整数(i=1,2,…,s),p_1,…,p_s为不相同的奇素数,则n具有如下形式: 其中q为奇素数,q≠P_1(i=1,…,s),q≤m~6(令m=2P_1~(l_1)P_2~(l_2)…p_s~(l_3))。 定理3.设n是正整数,ω(n)=2,则满足中φ(n)|σ(n)的n只有6,12,56,15,35,2~a(2~(a+2)-1)(其中2(a+2)-1为素数,α∈N)。 定理4.设n是下整数,ω(n)=3, 归)当2十n时,满足巾(n) la (n)的n只有:3·5·7,5·11·19,33·5·11, 3’·11·17,3”·7·(2·3”“‘一1)(其中2·3a“’一1为素数,Q EN). 伍)当引*时,满足叫n) ==k小(n)(其中卜>5且kEN)的n只有 2’·11·19,2’·7·11’·7·29,2’·7’·41,2’·5·7,2’·5(2”“’一1),2’·5·31 2·5·7,2·5·19,2·3’·5,2’·3·7,2’·3’·11,2‘·5’·79,2’·3’·5’,2·3·13, 2·3’·412·5’·53,2·3’·112’·3’·71,2”·3(2”“’*1)2·3·52’·3·11, 2’·3’·71(其中 2“‘’一 1为素数,a E N). 多 (c)若ZIn且 n42”pq(。EN),则口(n)=kth h)(其中 k(4且kEN)无正 整数解(其中q,q为不同的奇素数). 值得注意的一个有趣的现象是,小(n)!o(n的一个解2”(2““’一1)(其中 2叫’一1为素数,a EN卜与偶完全数2卜’o”一1八其中2”一1为素数,nEN)类似.


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