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两类平面系统的极限环问题

陆炳新  
【摘要】:本文分别研究了两类平面系统的极限环问题。全文共分三章。第一章为引言,第二章研究了二次系统(Ⅲ)_(n=0)的极限环问题,第三章研究了一类四次Liénard系统的极限环。 一、二次系统(Ⅲ)_(n=0)的极限环问题(第二章) 这一部分对叶分类下的二次系统(Ⅲ)_(n=0),即系统 (?)=-y+dx+lx~2+mxy≡p(x,y) (?)=x(1+ax+by)≡Q(x,y)的极限环问题进行了较系统的研究。得到了系统不存在极限环,存在惟一极限环,最多存在两个极限环的相应结论。全章共分四节。 第一节,对系统(Ⅲ)_(n=0)进行了基本定性分析,由于O外的极限环问题涉及到d=0时该系统的P(x,y)=0通过O的一支上是否存在一鞍点S_1,如果存在,则它包向O的两分界线界定了O外可能存在极限环的范围是以S_1为边界的有界区域.当1+ax+by=0不与P(x,y)=0的上半支相交时,则d=0时包向原点的两分界线分别来自和跑向赤道上的鞍点(或鞍结点)。这时O外可能存在极限环就涉及到这两条分界线所包围的无界区域,这对决定O外极限环是否具有惟一性是至关重要的。 第二节考察了d=0时该系统的极限环问题,得到如下结论: (1)围绕O的极限环若存在,必保持在区域x1内。 (2)固定l0,在(a,b)平面上的角域a(b+2l)≤0中系统不存在极限环。 (3)在(a,b)平面上的另两个对角域内,由于O可以成为二阶、三阶细焦点或中心,通过摄动参数改变其稳定性,从而在O外可出现极限环。由此分析了能分支出极限环的可能参数区域。(见图2.4.图中的数字1,2表示出现极限环的个数)。对余下的阴影区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ中的参数,我们均证明O外不存在极限环。证明较长,利用到一些甚为精细的估计,以证明在相应参数条件下,用Filipov变换后的函数F_1(z)与F_2(z),恒有F_1(z)≥F_2(z)


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