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Ⅲ类二次系统极限环问题和一类离散捕食系统的研究

谭远顺  
【摘要】:本文的研究分为两个部分,第一部分讨论了一般Ⅲ类二次系统原点外围极限环的惟一性,第二部分分析了一类具年龄结构的离散型捕食系统。 在第一部分,我们首先利用Ⅰ类系统和(Ⅲ)_(a=0)类系统O外围具有惟一极限环这一已知结论,分析了b由零到非零时(Ⅲ)_(a=0)类系统O外围轨线拓扑结构的变化。指出和Ⅰ类系统的主要区别是(Ⅲ)_(a=0)系统增加了一条积分直线,其上可以有一个或两个鞍点。当d由零变为非零且dW_10时,O外惟一的极限环随着|d|的增加而扩大,最后可以形成过积分直线1+by=0上两鞍点的有界异宿环。由于O外的极限环不会与积分直线1+by=0相交而保持在此直线的一侧,因而在O外有极限环的区域内,两者的结构是拓扑等价的。 对于一般的Ⅲ类系统,当a≠0且|a|充分小时,利用结构稳定性理论及小摄动原理我们证明了对固定的l,m,n且m(l+n)≠0(即d=a=0时,W_1≠0)。则当d由零变为非零且dW_10时,O外Hopf分支产生惟——极限环,其演变过程和(Ⅲ)_(a=0)类系统相同,即证明了,存在a_00足够小,使|a+≤a_0时,O外极限环最多也只有一个。因而O外围轨线的结构和(Ⅲ)_(a=0)类方程等价。 当|a|不充分小时,O外极限环惟一的性质将有可能破坏,究其原因一是W_1可以等于O而使O成为高阶细焦点或中心,则由Bautin的摄动方法可知O的外围临近可出现多于一个极限环;二是当O外围形成的分界线环的稳定性和O的Hopf分支产生的极限环的稳定性相反时,可出现两(或更多)个极限环的情况,除此之外,在|d|增大的过程中,O外围跳出半稳定环分裂为两个极限环的情况.为证明此时Ⅲ类系统极限环的惟一性,必须附加条件以排除上述三种情况出现的可能性.首先,取0n1,因为否则的话,N(0,1/n)将成为鞍点,不难说明,如形成通过鞍点N的同宿环时它正好与O外Hopf分支所产生的环稳定性相反因而破坏系统的惟一性;另外一方面,必须假定W_1≠0使O成为一阶细焦点,从而排除了上述极限环惟一性可能被破坏的前两种情形。然后在参数(l,m)平面上分别讨论了下列四组条件所界定的区域1)l1/2,m0;2)l1/2,m0;3)l1/2,m0;4)m0,l1/2,在适当的附加条件下也证明了Ⅲ类二次系统极限环的惟一性。这些结果充分说明:


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