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微分方程保结构方法的若干问题

李庆宏  
【摘要】:从古典意义上讲,常微或偏微分方程数值解主要关注于数值方法的构造,数值方法的精度,收敛性,数值稳定性分析等等,所提的方法被看作是通用的,即它适用任一微分方程。然而,这些通用的方法在实现时所遇到的困难告诉我们这种一个方法可解所有问题的想法是不正确的。事实上,许多微分方程有它自己特有的定性性质或称其为几何结构。渐渐地,人们意识到一个数值方法能否抓住方程的这些定性性质是非常重要的。这种捕获能力已成为衡量数值模拟是否成功的一个准则。近些年来,这种想法引发了所谓的几何数值积分方法或称保结构算法的研究,其主要思想是数值求解微分方程时,数值方法要尽可能多地保持原系统解的定性性质。 在这篇学位论文中,我们考虑了常微与偏微分方程保结构方法中的三个问题,它们分别是: ● 解周期初值问题的两步显式P-稳定方法; ● 解哈密顿型偏微分方程的多辛积分方法; ● 解牛顿运动方程的能量与动量守恒型积分方法。 首先,我们考虑了具有周期或振荡解的二阶常微分方程初值问题(简称周期初值问题)。此类问题时常出现在许多科学与工程的研究领域内。在设计解此类问题的数值方法时,我们不得不考虑方法的这样三个特征:代数阶,周期稳定性以及相延迟性质,特别是相延迟性质。在本文的第二章中,对一维周期问题,我们提出了一类具有高相延迟阶的两步显式P-稳定非线性方法。这些方法仅仅适用于分量情形。为此,我们定义了一种新的向量运算,借助于这种运算,此类方法可直接推广到向量的情形。我们详细讨论此类方法及其向量形式的周期稳定性质及相延迟性质。为了说明这些方法的有效性以及存在的不足,我们给出几个数值例子。 其次,我们研究了解哈密顿型偏微分方程的多辛积分方法。熟知,辛结构是哈密顿常微分方程的最本质的定性性质,自然地,在数值求解哈密顿常微分方程时,我们期望系统的辛结构能够保持。这种想法导致了辛积分方法的出现。近些年来人们对辛积分方法进行深入地研究。实践证明,在解哈密顿常微分方程时,辛方法要比非辛方法要好得多,特别是长时间的计算。哈密顿型偏微分方程是哈密顿常微分方程在时间与空间上的推广,即哈密顿偏微分方程在时间与空间方向上都定义了辛结构,称为多辛结构。如何稳健地求解哈密顿偏微分方程已经成为偏微分方程数值解中具有挑战性的课题之一。同解哈密顿常微分方程一样,我们希望在数值求解哈密顿偏微分方程时,方程的多辛结构能被保持。一个数值格式如果能保持一个离散的多辛守恒律,那么就称其为多辛积分方法。在本文的第三章中,我们证明了对于哈密顿波动方程,如果用两个辛分块Runge-Kutta方法分别对其时间与空间方向进行离散,我们可得到一个多辛积分方法。同样地,如果用两个辛Runge-Kutta-Nystr(?)m方法分别对其时间与空间方向进行离散,我们也可得到一个多辛积分方法。我们讨论了这两个多辛积分方法的能量与动量守恒性质。此外,对于非线性立方Schr(?)dinger方程,我们考虑了Euler箱格式及其组合格式。我们证明了这些格式能保持相应的离散多辛守恒律,因而是多辛的。本章最后,我们给出了一些数值结果。 最后,我们研究了解Newton运动方程的能量与角动量守恒积分方法。这里我们考虑的方程描述了一个单质点在中心场的运动规律。这部分内容安排在本文的第四章。注意到,对这些方程,一般情况下,常用的数值方法不能精确保持两个重要的物理量:总能量与角动量,而只是精确到方法的代数阶。为了能获得一个能量与角动量精确守恒的


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