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非光滑凸优化的若干算法

后六生  
【摘要】: 本文主要研究目标函数是凸函数的非光滑优化问题。在光滑的非线性优化问题中,非单调技术和过滤集技术获得了很大成功。我们把这些技术引入到非光滑优化中,得到了非光滑优化的非单调算法和过滤集算法。我们给出了这些的算法收敛性证明,以及收敛速度分析。分三部分介绍如下: 一、非单调近似点捆集方法 Grippo等人对非单调线搜索技术做了系统的研究,Facchinei和Lucidi提出了非单调线搜索的捆集算法,我们进一步研究非单调技术在Bundle算法中的应用。我们把非单调技术引入到Schramm和Zowe的算法中,主要是接受成功步的准则改变了。该算法不采用线搜索,而是一种“隐式”的信赖域方法,因此我们的算法与Facchinei和Lucidi的算法是不同的。我们给出了算法的整体收敛性证明。 二、非光滑优化的非单调信赖域算法 首先,非光滑优化问题min f(x)转化为min F(x),F(x)是f(x)的Moreau-Yosida正则化。用捆集方法得到F(x)的近似梯度,再利用梯度近似值和Hessian近似,构造一个二次规划信赖域子问题。利用截断CG方法解这个子问题,然后利用非单调信赖域策略接受步长。算法中所解的信赖域子问题是Sagara和Fukushima所给出的。我们将非单调技术用于Sagara和Fukushima的信赖域算法,给出了一个非单调的信赖域算法,并且证明了该算法的整体收敛性与超线性收敛性。 三、拟牛顿过滤近似点方法 研究过滤技术在非光滑优化问题中的应用。利用问题min f(x)与min F(x)的等价性,首先由割平面技术求得x_κ的一个近似的近似点p~α(x_κ),使得v_κ:=μ(x_κ-p~α(x_κ))∈(?)_ε_κf(p~α(x_κ))。其中ε_κ∈(0,α‖v_κ‖],α是一常数。然后,在拟牛顿方法中用g~α(x_κ):=v_κ近似代替g(x_κ),并且用t_κ:=g~α(x_(κ+1))-g~α(x_κ)校正B_(κ+1)。计算h~((κ+1)):=‖v_κ‖和f~((κ+1)):=f(p~α(x_κ)+d_κ),我们用这样定义的数对(h~((κ)),f~((κ)))定义过滤集。我们定义的过滤集与无约束光滑优化中的过滤集不同。如果(h~((κ+1)),f~((κ+1)))被过滤集接受,那么令x_(κ+1)=p~α(x_κ)+d_κ,并把(h~((κ+1)),f~((κ+1)))加入过滤集。否则,令x_(κ+1)=p~α(x_κ)。我们证明了算法的总体收敛性以及超线性收敛性。


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