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关于分形插值函数若干分析性质的研究

樊昭磊  
【摘要】:迭代函数系是构造和分析分形集的一种强有力的方法,它是由Hutchinson于1982年首先提出的.经过Barnsley等人的工作后,迭代函数系理论得到了完善和发展.到目前为止,关于分形迭代函数吸引子的研究已成为分形学中一个重要的研究领域,研究成果日益丰富.分形插值函数是由一类特殊的迭代函数系生成的,其图象就是该迭代函数系的吸引子.迭代函数系中的一组自由参数——纵向尺度因子对分形插值函数的形态和特征有着重要的影响.因此,研究纵向尺度因子的变化对分形插值函数的影响是一个非常有意义的问题.另外,研究分形插值函数的若干分析特性,对于分形插值函数的现实应用有重要的指导意义. 本文共分四章.第一章简要介绍了分形几何学中的一些基本概念(如分形集的维数、迭代函数系和分形插值函数等概念)、基本定理和基本方法.第二章研究了一类二元分形插值函数相对于纵向尺度因子的扰动而产生的变化误差问题.在一定的条件下,定量地分析了由扰动迭代函数系和原始迭代函数系所产生的两个分形插值函数之间的误差,给出了具体的误差解析表达式.另外,研究了这两个分形插值函数的矩量之间的误差,得到了误差的上界估计.数值模拟展示了分形插值曲面是如何随着纵向尺度因子的变化而发生形态变化的.第三章研究了一类具有函数纵向尺度因子的分形插值函数的若干分析性质.基于传统的迭代函数系,我们引入了一类具有函数纵向尺度因子的迭代函数系.在一定条件下,该迭代函数系确定了一个具有函数纵向尺度因子的分形插值函数.我们从理论的角度分析了插值点的纵向扰动所引起的这类分形插值函数的误差,给出了扰动误差的上界估计.另外,研究了该类迭代函数系对扰动的敏感性及由扰动引起的分形插值函数的矩量之间的误差,得到了误差的上界估计.证明了该类分形插值函数关于插值点的微小扰动是稳定的.数值实验验证了该类迭代函数系对扰动是不敏感的.理论结果对于这类分形插值函数的现实应用具有指导意义.第四章是对本文的总结和展望.


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