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曲面共形映射的Koebe's迭代法

章敏  
【摘要】:在几何和物理模型中,共形映射有着非常重要的作用。现在存在的方法只能解决拓扑结构比较简单的曲面,如单连通亏格为0的曲面。我们的方法可以解决拓扑结构较为复杂的曲面。通过单值化定理,我们可以知道所有的闭度量曲面都可以共形地映射成为三种典型空间中的一种,球面,平面和双曲圆盘。 本文推广了封闭曲面的单值化定理到带边界紧曲面情形。所有带边界度量紧曲面都可以共形地映到典型黎曼面的圆域上。并给出了具体的计算方法及其收敛速度的估计和证明。 对于亏格为0的多连通曲面,我们可以用广义的Koebe's迭代方法来解决计算共形映射的问题。我们先给出传统的Koebe's方法的计算算法,然后给出广义的Koebe's方法的算法和证明。广义的Koebe's方法是基于传统的Koebe's方法而得到的,但广义的Koebe's算法收敛得更快,迭代次数更少,提高了计算效率。而且广义的Koebe's算法可以处理一般的度量曲面,而传统的Koebe's方法只能处理平面区域。我们同时也给出了广义的Koebe's方法收敛阶估计及证明。 对于高亏格、带边界的紧度量曲面,我们将离散的Ricci流和Koebe's迭代法两种方法结合在一起来解决共形映射的计算问题。 对于带边界亏格为1的紧曲面,应用基于曲面Ricci流的共形映射的计算方法,将其万有覆盖空间映射到平面R2上,并使其边界分量映射成欧几里德圆。本文给出算法收敛阶的估计和证明。对于带多个边界的亏格g(g1)的曲面,应用曲面Ricci流和Koebe's迭代,将其万有覆盖空间共形地映到双曲平面H2上,并使其所有边界分量被映射成双曲圆。 实验结果显示我们的方法是普适,稳定及实用的。我们的方法在曲面匹配和形状特征的领域中有很多的应用。


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