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含有跳违约风险的常弹性方差模型下的期权定价研究

汪刘根  
【摘要】:金融衍生产品的定价是现代金融理论三大支柱之一,也是金融数学领域最基本和最重要的研究领域之一。作为金融衍生产品之一的期权,对其定价研究则是金融衍生品定价研究的核心。自引发第二次华尔街革命的Black-Scholes期权定价公式面世以来,基于Black-Scholes框架的美式期权、障碍期权、亚式期权等各类奇异期权定价以及各种金融创新都得到了深入的研究和发展。但建立在完备市场上的前提假设,以及固定波动率的假设,既忽略了股票市场上的信用风险,又无法与真实金融市场上观察到的数据相吻合。因此,为了更好的描述标的资产的运动状态,抓住市场上观察到的标的资产价格波动率和价格本身存在的杠杆效应,以及波动率微笑和波动率偏斜现象,同时为抓住股票市场上存在的信用风险,Carr和Linetsky提出了一种基于约化模型上的含有跳违约风险的扩展CEV模型,并研究了该模型上的欧式期权定价问题,给出了欧式期权定价的显示表达式。本文在Carr和Linetsky模型的基础上,进一步研究了含有跳违约风险的扩展CEV模型上的美式期权和障碍期权的定价问题。 我们首先讨论了含有跳违约风险的扩展CEV模型下的障碍期权定价,为得到定价公式,我们首先求解了特殊的在敲出时刻支付单位金额的永久敲出期权的定价公式,并发现该公式可表达为一阶和二阶Whittaker函数的复合形式。接下来,我们使用拉普拉斯转换得到了下降敲出看涨期权的定价公式。由于敲出期权、敲入期权和欧式期权之间存在着等式关系,通过等式关系即可得敲入期权的定价公式。接下来我们研究了含有跳违约风险的扩展CEV模型下的美式期权定价,得到了美式看跌期权偏微分方程表达式。由于美式期权定价实际上是求解偏微分方程的自由边界问题,无法得到其服从的偏微分方程的显式解,那么如何提高其数值解的计算效率和精度就成为定价的关键。因此,本章我们将通过使用人工边界方法,将原方程的半无界定义域人为分割成两个相邻的区域,一个为有界区域,另一个为半无界区域。然后通过拉普拉斯转换方法求得半无界区域边界上的价格,并将其作为有界区域内计算美式期权价格的隐式差分的计算起始点。从而快速得到标的资产价格在任意点时的美式期权价格的精确解。最后我们通过数值实验比较了改方法和普通的隐式差分方法的计算效率和精度。最后我们给出了JDCEV模型下的期权定价的一个应用,即在固定利率的欧式可转换债券定价。分析表明可转换债券等于一个普通债券加上一个隐含看涨期权。并利用前面章节关于期权定价的结论给出了欧式可转换债券的定价。


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