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Cauchy积分与Poisson积分在函数空间上的有界性

阮建苗  
【摘要】:调和分析作为数学的一个重要分支,有其深厚的历史背景和丰富完善的理论体系,在数学的诸多领域中有着广泛的应用.而具有半个多世纪发展的奇异积分理论在调和分析中有着十分重要的的地位. 本学位论文将致力于Cauchy积分算子与球面上的Poisson积分算子在一些函数空间上的有界性问题研究.全文共分三章.第一章研究Cauchy积分算子在加权Hardy空间上的有界性.第二章研究Cauchy积分算子在一类Morrey空间的前对偶空间上的有界性.第三章研究球面Poisson积分算子从Lebesgue空间到Lorentz空间的有界性.下面分别陈述各章的主要内容: 第一章记Rn是n维欧氏空间.定义Cauchy积分算子为其中A(x)是实值函数.这个算子无论在复分析还是实分析中都具有非常重要的地位,因此也引起了众多学者对它的兴趣与研究,如参见文献[8,12,13,16,19,20,29,36,49,50,52]等. 我们知道,当p≤1时,Lebesgue空间Lp(Rn)上许多好的性质不再保持,一个理想的替代空间是Hardy空间Hp(Rn).譬如Riesz变换不是LpRn)上的有界算子,但它却在Hp(Rn)上有界Hardy空间理论在算子有界性理论以及偏微分方程中有许多重要的应用,如参见文献[22,25,26,47,51,55,56,59,65]等以及它们所附的参考文献.但在实际应用中,Hp(Rn)也存在着许多缺陷.譬如f∈Hp(Rn),η∈C0∞(Rn)但fη不一定属于Hp(Rn)(见文献[56]).又譬如拟微分算子不是从Hp(Rn)到Hp(Rn)有界(见文献[32]).这些结论容易由下面的事实得到,若f∈Hp(Rn),则∫f=0.为了克服Hp(Rn)的这些缺点,Goldberg在文献[32]中引入了局部Hardy空间hP(Rn)自此之后,hp(Rn)被许多学者进行了广泛地研究,它同样在算子有界性理论以及偏微分方程中的一些问题的研究等方面都取得了许多进展,如见文献[18,32,33,44,57]等.随着Hp(Rn)与hp(Rn)理论的建立,它们的的加权形式也被广泛地研究,这方面较为系统的研究可参阅文献[58]. 为了给出本文第一章与第二章的主要结果,下面我们先引入Calder6n-Zygmund算子.常见的定义可以参见文献[31,56].但由于在这里我们主要关心的是Cauchy积分算子,所以采用文献[42]按主值形式的定义. 定义0.1.1设0δ≤1.我们称定义域在{(x,y)∈Rn×Rn:x≠y}上的局部可积函数K(x,y)是一个标准核,如果它满足条件其中2|y-z||x-z|此时记K∈SK(δ). 定义0.1.2我们称线性算子T为δ一Caldero-Zygmund算子,如果 (ⅰ)存在K∈SK(δ),使得对于任意的f∈L2(Rn),以及对于几乎处处的x∈Rn,有(ⅱ)T是L2(Rn)上的有界算子,即对于任意的f∈L2(Rn),||Tf||L2≤C||f||L2.这时记T∈CZO(δ). 定义算子T的转置为设f∈L∞(Rn),定义值得注意的是,如果f∈L2(Rn)n L∞(Rn),则对于几乎处处的x∈Rn,有其中q是一个常数. 定义0.1.3设0α≤1,我们定义Lipschitz空间∧α(Rn)与局部Lipschitz空间分别为 容易验证∧1 (Rn)=∧loc1(Rn)与∧α(Rn) (?)∧locα(Rn) (0α 1),其中后者的包含关系是严格的.一个简单的例子是f(x)=x,我们可以验证这个函数属于空间∧locα(R1),但却不属于空间∧α(R1)(0α1)进一步,我们还知道Hp (Rn)的对偶空间是∧α(Rn),即(Hp(Rn))*=∧n(1/p-1)(Rn),这里n/n+1np1(见文献[26]). 定义0.1.4设β0.称有界复函数b为β-增长的,如果对几乎所有的x∈Rn,有 1977年,Calderon在‖A′‖L∞很小的情况下,用复分析的方法证明了CA是L2(R1)有界的(见文献[9]).1982年,Coifman, McIntosh与Meyer取消了‖A′‖L∞很小的限制,得到了下面的定理(见文献[16]) 定理0.1.1如果A′∈L∞(R1),则CA E CZO(1). 由这个定理以及Calderon-Zygmund算子理论,容易知道,若A'∈L∞(R1),则CA是强型Lp(R1)(1p∞)有界与弱型L1(R1)有界的.且进一步由Calderon-Zygmund算子的Ap权理论,我们有,若A'∈L∞(R1), w∈Ap(1 p∞),则CA在Lwl(R1)上有界;若ω∈A1,则CA从Lwl(R1)到弱Lw1(R1)有界.这些结论的详细证明可参看文献[24,31]等. 上述结论主要关心CA在 p∞)的情形,但它在Hardy空间Hp(R1)上的有界性却知之甚少.最近,Komori,见文献[42],证明了CA是从Hp(R1)到局部Hardy空间hp(R1)的有界算子: 定理0.1.2设0a1, 1/1+α≤p≤1如果A'∈L∞(R1)∩∧α(R1),则CA从Hp(R1)到hp(R1)有界. 为了证明定理0.1.2,作者建立了一个变形的"Tb定理” 定理0.1.3设0α1,n/n+δp≤1与n/n+α≤p, T∈CZO(δ)如果存在一个β-增长函数b,且满足b,tTb∈∧α(Rn),则T从Hp (Rn)到hP (Rn)有界,且有 在文献[42]中,作者利用性质(HP (Rn))*=∧n(1/p-1)(Rn)得到了算子T的hp (Rn)(0p1)估计,结合算子T的L2(Rn)有界性,利用插值定理得到了h1(Rn)的有界性. 一个自然的问题:Cauchy积分算子CA在加权Hardy空间上的情形会如何?在本文第一章,我们给出了肯定的回答,得到了CA是从加权Hardy空间Hωp(R1)到加权局部Hardy空间Hωp(R1)的有界算子.为了证明定理,我们引入了hwp (R1)上一般化的原子与分子概念,并建立了一个加权情形下的“Tb定理”我们的主要结论如下: 定理0.1.4设0α≤1≤q, nq/n+δp≤1,nq/n+α≤p q, w∈Aq与T∈CZO(δ)如果存在一个β-增长函数b,且满足b,tTb∈∧locα(Rn),则T从Hwp (Rn)到hwp (Rn)有界,且有 与定理0.1.3相比较,定理0.1.4可以把α提升到1,而且也减弱了tTb的条件限制.注意到A1 (?) Aq(1q),因此在端点p=1时,令q=1,即若ω∈A1,定理0.1.4的结论自然也成立.事实上,我们还有下面更好的结果: 定理0.1.5如果w∈A1,T∈CZO(δ)则T从Hω1(Rn)到Hω1(Rn)有界,且有 如果w∈A1,T∈CZO(δ),则由Hardy空间的原子分解理论容易证明||Tf||Lw1≤,C||f||Hw1在文献[54]中,Quek与Yang加强了条件,同时也得到了一个更强的结论,即如果还满足tT1=C,则有|Tf||Hw1≤C||f||Hw1随后,在文献[39]中,Komori减弱了文献[54]中的条件,利用算子插值的方法得到了下面的结论:如果tT1∈∧α(Rn)(0α1),则l|Tf||hw1≤C||f||Hw1注意到Hw1(Rn)(?)hw1(Rn)(?)Lw1(Rn),定理0.1.5推广了上述结论.特别地,如果取权函数ω=1,我们的结论也是新的.在本文中,我们没有采用插值的方法,而是进行了更为直接的估计得到了定理0.1.5. 利用定理0.1.4与0.1.5,可以得到Cauchy积分算子的有界性: 定理0.1.6设θ<α≤1≤q,q/2<p≤1与q/1+α≤pq如果w∈Aq,A'∈L∞(R1)∩∧locα(R1),则CA从Hwp(R1)到hωp(R1)有界. 定理0.1.7如果A′∈L∞(R1)且ω∈A1,则CA从Hω1(R1)到hω1(R1)有界. 第二章定义Cauchy积分算子CA与κ阶Calderon交换子TAk分别为和其中A(x)是实值函数,κ是正整数.这两个算子有紧密的联系但也有很大的区别.正如前面对Cauchy积分算子所做的介绍,Calderon交换子同样在复分析与实分析中都具有非常重要的地位,因此同样也引起了众多学者对它的兴趣与研究.见文献[8,9,14,36,41,42,49]以及它们所附的参考文献等. 我们知道,当实函数A(x)∈L∞(R1),CA∈czO(1)与TAk∈czO(1)如前面所述,根据Calderon-Zygmund算子理论知,此时TAk也在Lp(R1)上有界(1p∞时,为强型估计;p=1时,为弱型估计). 设1≤q∞,给定函数φ:(0,∞)→(0,∞),f是一个局部可积函数.称f属于Morrey空间Lq,φ(Rn),如果存在一个常数C,使得对于任意的x0∈Rn与r0,有其中C为复数集.特别地令φ(t)=tλ一1/q,当φ=0,Lq,φ(Rn)=Lq(Rn);当λ=1,Lq,φ(Rn)=BMO(Rn);当1λ1+q,Lq,φ(Rn)=∧λ-1/q(Rn);当0λ1,Lq,φ(Rn)就是通常的Morrey空间,它由Morrey在文献[48]中引入.随后这类空间被广泛地研究,它们在PDE以及奇异积分理论等中取得了许多重要的应用,如参见文献[1,3,6,11,23,37,53,60]等. 1986年,Zorko在文献[66]中首先证明了Lp',φ(Rn)的前对偶空间是Hp,φ(R1),即Hp,φ(R1)的对偶空间是Lp′,φ(Rn)(详细的定义见第二章第二节).随后这类空间也引起了许多学者的兴趣,如参见文献[2,45,64]等.2003年,Komori在文献[40]中证明了1阶Calderon交换子TA1是从Hp,φ(R1)到hp,φ(R1)的有界算子,这里hp,φ(R1)是Hp,φ(R1)的局部形式.即定理0.2.1设0α1p≤1/1-α如果A'∈L∞(R1)n∧α(R1),则1阶Calderon交换子TA1从Hp,φ(R1)到hp,φ(R1)有界. 为了证明定理0.2.1,作者建立了如下的定理: 定理0.2.2设0α1p≤n/n-a如果T∈CZO(δ)且满足tT1∈∧α(Rn),则T从Hp,φ(Rn)到hp,φ(Rn)有界,且有由定理0.2.2,我们容易得到定理0.2.1.如果把定理0.2.2中的条件tT1∈八α(Rn)加强为T1=C,Alvarez在文献[1]中证明了T是Hp,φ(Rn)上的有界算子. 这里值得一提的是根据定理0.2.2以及文献[41]中的定理2,我们容易验证在定理0.2.2的条件下,高阶Calderon交换子TAk(k1)也是从Hp,φ(R1)到hp,φ(R1)有界的. 由于Cauchy积分算子CA与Calderon交换子TAk有十分紧密的关系,一个自然的问题是CA也会从Hp,φ(R1)到hp,φ(R1)的有界吗?在本文第二章,我们将给出肯定的回答.我们的主要结果为: 定理0.2.3设0α≤1p≤1/1-α且p∞.如果A'∈L∞(R1)∩∧locα(R),则CA从Hp,φ(R1)到hp,φ(R1)有界. 与Calderon交换子比较,对Cauchy积分算子的研究要相对困难一些.其中最主要的原因是我们可以直接对TA11进行计算,并能对其应用著名的"T1定理”而这一点对CA而言却不是很有效.因此,为了证明我们的结论,需要引入新的方法.此处,我们采用与第一章中类似的想法,引入了Lp,φ(Rn)上的一般化的原子与分子概念,并建立了一个变形了的"Tb定理” 定理0.2.4设0α≤1p≤n/n-α,p∞,T∈CZO(δ)如果存在一个β-增长的函数b使得b,tTb∈∧locα(Rn),则T从Hp,φ(Rn)到hp,φ(Rn)有界,且有 第三章设n≥2,Sn-1是Rn中的单位球面并装备有通常的球面测度σ.Br=B(0,r)表示以原点为中心r为半径的开球.考虑如下的Dirichlet司题其中f表示某个函数或测度.如果f∈Lp(Sn-1),1≤p≤∞,我们定义f的Poisson积分为其中Poisson核这里z∈B1,y∈Sn-1,ωn表示单位球面Sn-1的测度. 记M(Sn-1)为Sn-1上的有界Borel测度全体.记μ=∈M(Sn-1)的总变差为‖μ‖.如果f=μ∈M(Sn-1),则定义f的Poisson积分为令x=tθ,这里0≤t1,θ∈Sn-1,则可以把Pf(x)改写为我们熟知Pf(x)是上述Dirichlet问题的解.而且我们还知道对于任意的f∈Lp(Sn-1),1≤p∞,当t→0时,有‖(Pf)t-f|Lp(Sn-1)→0(参见文献[4]).进一步,还有下面熟知的范数估计: 定理0.3.1(1).如果μ∈M(Sn-1),则Pμ(x)∈L1(B1),且有(2).如果f∈LP(Sn-1),1≤p∞,则Pf(x)∈Lp(B1),且有 在本章,我们主要利用了单位球内调和函数的局部点态估计,并利用迭代的方法提升了Poisson积分的可积性,即证明了Poisson积分算子从球面Lebesgue空间Lp(Sn)到Lorentz空间Lp,q(B1)的有界性: 定理0.3.2(1).如果μ∈M(Sn-1),则对于任意的qn/n-1,有Pμ(x)∈Lq,1(B1).进一步,存在仅与n,q有关的常数C满足(2).如果f∈Lp(Sn-1),1<p∞,则对于任意的qnp/n-1,有P.f(x)∈Lq,1(B1).进一步,存在仅与n,p与q有关的常数C满足注0.3.1(1).对于任意的0p∞,0qroo,有LP,P(B1)=LP(B1)与LP,P(B1)(?)LP,T(B1)因此定理0.3.2推广了定理0.3.1.(2).定理0.3.2(1)中的指标n/n-1是最优的.换言之,如果q≥n/n-1,则结论不一定成立.我们在第三章第四小节中构造了一个反列来说明.


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