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水平集方法在预混合湍流V型火焰模拟和形状复原问题上的应用

刘箐  
【摘要】:本文主要研究了水平集方法(Level Set Method)及其改进型在预混合湍流V型火焰模拟问题和形状复原问题上的应用。主要内容包括以下几个方面: 第一、我们首先介绍了移动界面追踪问题两类主要数学模型:一类是通过求解界面经过每个网格点的时间,来获取界面信息的边界值问题。另一类是将界面表示为高一维光滑函数Φ的零水平集,通过求解与Φ有关的方程来获取界面信息的带时间初值问题。求解这一类方程常用方法就是我们要主要讨论的水平集方法。 接着我们介绍了传统处理界面追踪问题的两种方法。第一种是标记粒子法(Marker Particle Method),顾名思义就是将界面分为若干部分,用粒子标记。通过记录每一个粒子随着时间移动到的位置,就可以模拟出该时刻的界面情况。第二种是流体体积法(VOF),用一个VOF函数F(Q,t)来表示网格的流体状态,通过进一步分析F来决定界面的位置。 第二、我们详细介绍了水平集方法的基本算法和应用。了解如何构造一类符号距离函数为水平集函数使得其零水平集为界面Г,并介绍了迎风格式(Upwind Scheme)、哈密尔顿-雅克比ENO方法、哈密尔顿-雅克比WENO方法和TVD龙格-库塔方法(TVD RK)等数值方法求解更新水平集函数的水平集方程。 同时,引入了重新初始化过程使得水平集函数φ在计算过程中保持为符号距离函数。重新初始化的常用方法是快速行进法(Fast Marching Method),其借鉴网络路径算法,通过迎风格式自动选择带不可微性的解,构造快速寻找方法。 第三、水平集方法最大劣势是在特殊情况(比如平均曲率很大)下无法保持守恒性,常常表现为质量或者速度的损失或者增加。多个研究者提出了改进型水平集方法被用以解决这个问题,我们简要介绍其中三类:CLS方法(Coupled Level Set Method)、守恒性水平集方法和粒子水平集方法(Particle Level Set Method)。 第四、在讨论了水平集方法的基本思想和回顾了前人在改进水平集算法上做的努力之后,我们提出了新的守恒性水平集方法-速度重构水平集方法。其主要思路是通过构造双立方(Bi-Cubic)插值函数和牛顿方法,用界面上的速度代替邻近界面的网格点速度,然后用新的速度求解水平集方程。这样在不使用重新初始化过程的情况下,就可以保持水平集函数φ始终为一个符号距离函数,且在运算过程中很好地保持了守恒性,为守恒型水平集方法的发展提供了新的思路。为了验证新算法的有效性,将其应用到涡流问题和更为复杂的预混合湍流V型火焰模拟问题,并将结果与用传统水平集方法得到的结果进行比较。 第五、我们提出了一类基于水平集方法的迭代算法处理形状复原问题这类反问题,通过引入水平集函数来克服参数不连续性带来的高不适定性,为水平集方法在反问题上的应用提供了新的思路。


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