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分数次积分交换子的加权有界性

喻晓  
【摘要】:本论文主要研究了分数次积分交换子的加权有界性问题。众所周知,最经典的分数次积分算子定义如下:关于分数次积分Iα(f)的有界性,可以参见文献[74],这是关于分数次积分算子比较早期的结果。我们说一个非负可积函数ω属于Ap权,其中1p∞,如果存在一个常数C,使得对所有边和坐标轴平行的方体Q,我们有同样我们称一个非负可积函数ω属于41权为:如果存在一个常数C,使得对所有边和坐标轴平行的方体Q,我们有并且我们定义关于权函数的更多细节问题,可以参见文献[36]。分数次积分算子的加权有界性可以参见文献[56]等。 本论文就是在前人工作的基础上继续研究了分数次积分交换子的加权有界性,主要研究的内容是: 一具有广义Homarnder型核函数的向量值分数次积分交换子的加权有界性, 二向量值多线性分数次积分交换子的Coifman型估计以及弱型LlogL估计, 三多线性位势算子交换子的双权模不等式 四向量值多线性分数次积分交换子的双权弱型不等式。 五具有变量核的算子极其交换子的弱型LlogL估计以及加权有界性的讨论 本论文共分六章。 第一章本章主要给出了一些本论文常用的函数空间,包括Orlicz空间,BMO空间以及ExpLr空间,以及一些常用的引理及其概念等。 第二章本章研究了具有广义Homarnder型核函数的向量值分数次积分交换子的加权有界性,包括此类算子的Coifman型估计以及端点的加权弱型LlogL估计,其中权函数仅仅为一个非负局部可积函数。在讨论分数次积分交换子之前,我们首先给出奇异积分交换子的定义以及相关的结果。 设T(f)(x)=p.v.∫RnK(x-y)f(y)dy为一个奇异积分算子,其中K称为算子T(f)的核,满足一些经典核的条件,如关于T(f)(x)的性质及其主要结果,可以参见文献[74]。假设一个非负可积函数b(x)属于BMO(Rn)空间(定义参见下一章),则我们定义如下的奇异积分交换子Tb(f)(x),以及相应的高阶交换子 显然,当m=1时,我们有Tb1(f)(x)=Tb(f)(x)。1976年,Coifman, Rochberg和Weiss等在文献[19]中证明了算子Tbm(f)(x)是Lp(Rn)(1p∞)有界的当且仅当b∈BMO(Rn)。 然后在1982年,Chanillo在文献[7]中首先考虑了如下形式的分数次积分交换子,Chanillo证明了当b∈BMO(Rn)时,算子Iαb(f)是从Lp(Rn)到Lq(Rn)有界的,其中1p∞并且1/p-1/q=α/n。注意到上述结果,不管是Coifman等人或者Chanillo的论文中都没有对p=1时给出相应的奇异积分交换子或者分数次积分交换子的有界性。因此奇异积分或者分数次积分交换子在端点的估计一直是一个值得考虑的问题。这个问题直到1995年由Perez在文献[58]中给出了解答,他首先给出了一个反例说明了奇异积分交换子不是弱(1,1)型的,接着Perez证明了算子Tb(f)满足一种LlogL估计。Perez的这篇论文受到了广泛的引用,2001年,Ding, Lu和Zhang在文献[29]中首先给出了一个反例,说明了分数次积分交换子Iα,b(f)(x)不是弱(L1,Ln/(n-α),∞)型的,并且他们证明了Iαb(f)(x)满足一种相应于分数次积分的弱型LlogL型估计,在他们的论文中,Ding, Lu和Zhang通过引入一种新的分数次sharp极大函数Mα#(f)(x),然后利用此类函数的点态估计以及Perez在文献[58]中的方法,证明了算子Iαb(f)的弱型LlogL估计。然后在2007年,Gorosito, Pradolini和Salinas在文献[38]中利用了一些不同的方法,把Ding, Lu和Zhang的结果推广到了加权的情形,他们的证明过程中首先给出了分数次积分算子Iα(f)(x)的弱型LlogL估计,然后可以得到算子Iαb(f)端点的弱型加权LlogL估计,具体细节可以参见文献[38],本论文的第三章也会体现这一方法。 1972年,Coifman在文献[16]中给出了奇异积分算子T(f)(x)如下的Coifman型估计:对于每个属于A∞权的权函数ω,我们有利用奇异积分算子的Coifman型估计和加权Lp空间的对偶理论,Perez于1994年在文献[59]中证明了对于每一个非负可积函数ω(x),我们有利用上式的结果以及经典的C-Z分解理论,Perez还在文献[59]中证明了如下的弱型加权不等式:对于任一个非负可积函数ω(x),我们有现在我们可以提出一个很自然的问题,相应的奇异积分交换子会不会也有上述相应的结果?这些工作还是由Perez给出了解答,他在文献[60]和[64]中分别对上述两个问题给出了比较完美的解答,Perez分别证明了和其中φm(t)=t(1+log+t)m,并且极大函数ML(logL)m+δω(x)将会在下一章给出定义。但是我们要注意到的是以上的工作中,都对奇异积分算子的核函数K(x)有光滑性的要求,比如K需要满足(0.4)和(0.5)的条件。不过在2005年,Martell, Perez和Trujillo-Gonzalez在文献[54]中给出了一个反例,如果核函数满足H1-Hormander条件时,即如下的经典Hormander条件时,奇异积分算子的Coifman型估计将不再成立。因此找一种新的Hormander型条件使得对应的奇异积分算子的Coifman型估计继续成立是值得考虑的问题。2005年,Lorente, Riveros和Torre在文献[50]中给出了一类和Orlicz函数密切相关的Hormander型条件HA,并且这类新的Hormander型条件也是介于H1-Hormander型条件和经典核函数条件之间的一种情况,如果核函数K满足此类Hormander型条件,则对应的奇异积分算子仍然可以满足一类Coirman型估计,他们证明了如下的结论 定理A([50])假设T(f)(x)是一个Lp(Rn)(1p∞)有界的奇异积分算子,A是一个Young函数,如果核函数满足如下的LA-Hormander型条件:其中CA0,并且对任意的x,有RCA|x|,则对任意的0p∞以及ω∈A∞,存在常数C使得然后在2008年,Lorente, Martell, Rivers和Torre在文献[52]中考虑了核函数具有LA-Hormander型条件的奇异积分算子交换子Tbk(f)(x)。他们证明了Tbk(f)(x)的Coifman型估计以及端点的弱型LlogL估计,不过这时候核函数K需要满足如下稍微强一点的条件, 最近Riveros在文献[68]中考虑了对应的广义分数次积分的情形,其中IKα(f)(x) =∫RnKα(x-y)f(y)dy。她证明了如果核函数Kα满足如下的广义分数次Hormander型条件,则对应的广义分数次积分算子L(f)(x)也可以满足相应的(0.9)和(0.10)式,但是对于分数次积分交换子,如果相应的核函数也满足和Young函数相关的Hormander条件,是否会有这类似的结果呢?这个问题在本论文的第二章给出了解答,我们考虑了如下形式的向量值分数次积分交换子其中,Iα,b(f)(x)=∫RnKα(x-y)f(y)(b(x)-b(y))mdy并且b∈BMO(Rn)。我们称一个核函数Kα∈HA,k,α如果Kα满足如下条件:当k=0时,我们记作Kα∈KA,α。 现在给出第二章的主要结果 定理0.1假设0p∞,b∈BMO,ω∈A∞,并且A,B,Gk为满足不等式A-1(t)B-1(t)CK-1(t)≤t的三个Young函数,其中Ck-1(t)=e1/k。如果核函数Kα∈HA,k,α∩HB,α,则存在一个常数C使得 定理0.2令A是一个Young函数,并且假设存在另外两个Young函数ξ和θ使得ξ∈B,以及ξ-1(t)θ-1(t)≤A-1(t),再令D(t)=θ(t1/p加),则我们有如下的结论,如果是一个线性函数并且它的对偶算子满足其中0q∞以及ω∈A∞,则对Rn上的任意非负可积函数μ,我们有其中1p∞。 定理0.3令以及它的核函数Kα和定理0.1以及定理0.2中是完全一样的,并且假设存在一个Young函数D是满足如下条件:其中ω为Rn上的任意一个非负可积函数,则存在一个常数C,使得 其中Φk(x)=x[log(e+x)]k并且k∈Z+。 注记0.4据我们目前所知道的结果来看,本章的结果就是对于非向量值广义分数次积分算子来说也完全是新的,并且当k=0时,我们的结果在非向量值情形和文献[68]是吻合的,所以本章的定理2.1-2.3推广了文献[68]的结果。 注记0.5作为本章结论的一个应用,我们得到了具有粗糙核的向量值分数次积分交换子的加权有界性。同时,我们也得到了和乘子相关的向量值分数次积分交换子的有界性,这些结论我们将会在本章最后一节提到。 注记0.6在文献[4],几位作者证明了分数次积分交换子端点的加权估计,其中权函数ω仅仅是一个非负可积函数。但是在那篇论文中,他们考虑的分数次积分仅仅是经典的Rieze位势算子,而不带有一个核函数Kα,很明显,我们本章定理2.3是文献[4]中结论的推广 第三章本章主要研究了向量值多线性分数次积分交换子的Coifman型估计和加权弱型L1ogL估计。 在过去的十几年中,多线性算子理论也获得了很大的发展,1999年,Kenig和Stein在文献[43]中考虑了如下的多线性分数次积分算子:令m∈N,1/s= 1/t1+1/t2+…+1/tm-α/n0,其中0amn,1≤ti≤∞,其中多线性分数次积分定义如下他们证明了如果对于某些i,我们有ti=1,则倘若对于每一个i均有ti1,则我们有2002年,Grafakos和Torres更是在文献[39]和文献[40]中考虑了多线性C-Z理论,他们给出了多线性C-Z算子及其相应的极大算子在乘积Lp1×…Lpm空间到Lp空间的有界性,其中多线性C-Z算子T(f)(x)的定义为其中核函数K(x,y1,…,ym)满足的条件可以参见[39]等。但是对多线性奇异积分算子T(f)(x)的加权有界性问题,一直没有得到比较好的解决,主要问题是一直找不到一种适合于多线性算子的权函数。这个问题最近由Lerner等人在文献[49]中给出了很好的答案,他们定义了一种针对于多线性算子的Ap权,并且证明了多线性奇异积分交换子及其交换子此类权函数下的加权有界性,他们的这个工作很好的解决了一个关于多线性算子加权的公开问题。因此,本论文的接下来几部分都是关于多线性分数次积分算子交换子的加权模不等式,在第三章,我们考虑了向量值多线性分数次积分算子的Coifman型估计以及端点的弱型LlogL加权估计,并且在证明第三章主要定理的过程中我们还证明了向量值多线性分数次积分的有界性,这个结果是Kenig和Stein在文献[43]中的结果的推广并且我们证明的方法和他们的有实质性的区别。 第三章的主要结果如下: 定理0.7令0p∞,1/mg∞,0amn,并且假设1/q=1/q1+…+1/qm和bi∈OSCexp(Lri),其中ri≥1,i=1,2,…,l,r=min{r1,…,ri)。如果权函数ω∈A∞并且其中αj0,则存在一个常数C0,使得 定理0.8令ω∈A∞,假设正实数q,q1,…,qm,r1,…,rm,r和bi定理0.7中完全一样,再令φ(t)=t(1+log+t)1/r,ψ(t)=t1-r(1+log+(t-r))1/r和φ(t)=(t(1+log+tγ)1/γ)1/1-γ,y,其中γ=α/mn,则存在一个常数C,使得对任意的实数λ0,我们有 注记0.9据我们所知,定理0.7和0.8在对于在非向量值情形的多线性分数次积分广义交换子也是新的结果。 注记0.10显然,定理0.8推广了文献[38]中的结果并且当α→0时,我们的结果可以看成是文献[77]中结果的极限情形。 注记0.11对于仅仅是向量值分数次积分的情形,相应的Coifman型估计和弱型LlogL估计在本文第三章中的证明中也已经给出来了,具体的细节将会在第三章中给出。 注记0.12在第三章主要定理的证明过程中,我们也得到了向量值多线性分数次积分算子在乘积Lp空间中的有界性,即我们有如下结论: 假设Iα,q(f)(x)是前面所提到的向量值多线性分数次积分,并且令α=以及1/q=1/q1+…+1/qm,其中1q1,…,qm。则存在一个大于零的常数C使得以及其中1/s=1/s1+…+1/sm,1/s-1/p=α/n,1s1,…,sm∞。上述结果是Kenig和Stein在文献[43]中关于多线性分数次积分在乘积Lp空间中有界性的本质推广并且我们的证明方法和他们有着实质性的区别。 第四章本章主要研究了多线性位势算子交换子的双权模不等式。 前面第二章和第三章的结果主要思想来源于文献[58]-[62],在另一方面,Perez还考虑过利用一些不同的技术对空间进行分解从而得到分数次积分算子的双权模不等式,这时候需要权函数满足一类“power and logarithmic bumps”条件。在1994年,Perez在文献[60]中考虑了如下的位势算子,其中Φ(x)是一个非负,局部可积,并且满足一类特殊条件的函数,并且Φ(x)可以取特殊情况1/(|x|n-α),所以算子TΦ包含了经典的分数次积分算子Iα,具体的性质我们将会在本文第四章提及。在文献[60]中,Perez证明了此类算子满足一类双权模不等式。但是直接利用Perez文献中的方法,我们无法得出相应的多线性分数次积分算子的双权模不等式。最近,Moen在文献[53]中使用了一种不同于文献[60]中的空间分解方法,证明了多线性分数次积分算子的双权模不等式,在上述工作的引导下,我们在本论文第四章考虑了如下的多线性位势算子交换子,其中函数Φ(x)满足如下的条件,存在常数δ,C0,0≤ε1对于所有的k∈Z,我们有本论文第四章的主要结果如下, 定理0.13假设0αmn,1p1,…,Pm∞,q是一个满足1/mp≤q∞的实数,其中p1。如果bi∈OSCexp(Lri),其中ri1(i=1,…,m)。如果Young函数Ψ,Φ1,…,Φm满足和对某些c0。并且,令Bm(t)=tlog(e+t)m,如果Ψ(t)andΦi(t)满足如下条件则对于所有的我们有如下不等式其中权函数(u,v)以下条件(a)或(b)之一:a)q1时,并且b)g≤1时,并且其中 注记0.14根据文献[53]或者[60],如果我们取Ψ(t)=tq(log(1+t))q-1+δ以及Φi(t)=tpi′(log(1+t))pi′-1+δ,其中δ是某个大于零的实数,则Ψ(t)和Φi(t)满足不等式(0.23)-(0.24)。 注记0.15显然,如果取则本文的结果对于多线性分数次积分交换子而言也是新的。 注记0.16最近,Lerner等人在文献[49]中考虑了如下的多线性C-Z交换子,其中b=(b1,…,bk)(bi∈BMO(Rn)),并且定义如下其中T(f)是多线性Calderon-Zygmund算子,读者可以参阅文献[39]。因此,如果我们在本文中考虑如下形式的多线性位势算子交换子,则此类算子仍然可以在相同的条件下得出定理1的结果。证明方法和定理0.12的证明类似,在此略去。 注记0.17在文献[60]中,Perez只是在q1的情况证明了位势算子的双权模不等式,同时在文献[47]中,Li也仅仅是在q1的情况证明了位势算子交换子的双权模不等式,因此本文的结果不仅仅推广了他们的结果,并且在q≤1的时候的结果是他们论文中所没有的。 第五章本章主要研究了向量值多线性分数次积分交换子的双权弱型不等式。 上一章我们得到的结论是多线性位势算子交换子的双权不等式,并且得到的结果是强型估计,这个时候我们对权函数需要满足的条件要求比较高,因此如果我们对权函数满足的"power and log bump"条件降低一点的话,会产生什么结果呢?这个问题由Cruz-Uribe和Perez在2000年在文献[18]中给出了回答,他们证明了如果权函数(u,v)满足一类比较宽的"Power and log bump "条件的时候,对应的奇异积分算子及其交换子以及分数次积分都满足相应的双权弱(p,p)不等式,其中1p∞。2004年,Liu和Lu在文献[48]考虑了相应的分数次积分交换子的结果,上述论文中作者证明的方法都是利用了和Orlicz函数有关的极大函数对空间进行C-Z分解,从而得出了相应的结论。最近,Tang在文献[77]中证明了相应的向量值多线性奇异积分交换子也能满足相应的双权模弱型不等式,受到上述工作的启发,我们证明了本论文第二章中考虑的算子Iα,b,q(f)也满足相应的双权模弱型不等式,第五章的主要结论如下 定理0.18令1p∞,1/p=1/p1+…+1/pm,1/mq∞,1q1,…,qm。对于所有方体Q,假设每一对权函数(μ,vj)均满足其中r1和于是存在常数C使得 注记0.19很明显,本章的结果推广了文献[48]中的主要结果。 第六章本章我们简单的讨论一下关于具有变量核的算子及其交换子能否得到相应的端点弱型LlogL估计以及是否满足相应的加权估计,其中权函数仅仅是个非负可积函数。同时在第六章中我们还介绍了一些关于变量核算子的一些已知结果和证明,其中部分结果也是我们最近刚刚发表的内容。


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