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振荡乘子及一类多线性算子在函数空间上的有界性

曹薇  
【摘要】:自20世纪五、六十年代,A. P. Calderon和A. Zygmund建立奇异积分理论以来,以Calderon-Zygmund奇异积分算子为核心的各类算子(如振荡乘子算子,多线性积分算子等)成为近代调和分析理论研究中最为活跃的课题之一,由此形成并发展起来的许多方法和技巧已被广泛应用于算子有界性的研究当中。它们在复分析、位势论、算子理论、非线性分析等众多数学分支中都有广泛应用,相关文章参看[2、3、6、10、14-17、19、27、32、33、53、54]等。其中,各类算子在各种函数空间的有界性一直是调和分析研究的中心问题之一。 本学位论文主要致力于调和分析中振荡乘子算子、多线性积分算子在Triebel-Lizorkin空间、Herz空间以及Herz型Hardy空间上的有界性研究。目前,这些算子在Lp空间、Hp空间或Lωp空间等一些经典函数空间上的有界性已有广泛的研究,可参见文献[29、30、35-37、63、64、69]。但由于齐次型Trieble-Lizorkin空间包括了我们经常用到的Lp空间、Hp空间、Sobolev空间及BMO空间等一些重要的函数空间,而且Herz空间是一定条件下加幂权Lebesgue空间的等价表达形式。所以本文的结果可以看成是已有算子有界性理论的推广。但在证明算子有界时,我们需要采用新的方法。 本文主要分为四章: 第一章主要探讨了当0β1时,振荡乘子算子Tα,β在齐次型Triebel-Lizorkin空间中的有界性。结合[36、41]的证明方法,并利用齐次型Triebel-Lizorkin空间原子分解,部分推广了[28、48、55、65]的结果; 第二章主要受[12、25]启发,证明了当β=1时,振荡乘子算子Tα,β在齐次型Triebel-Lizorkin空间中的有界性。由于β取不同的范围使得核函数的奇性不同,从而核函数有不同的估计,导致在估计算子有界性时,证明方法有所不同。同时,我们也得到了当β1时,振荡乘子算子在齐次型Triebel-Lizorkin空间中的有界性; 第三章主要考虑了当β取不同值时,利用Miyachi [48]的结果及核函数的估计,得到了振荡乘子算子Tγ,β在Herz空间中的有界性,且若β充分接近于1或α足够大时,全面推广了Li和Lu[39]非加权情形的有界性结果;另一方面,对β≥1,本章即使对于非加权有界性结果也是新的; 第四章主要研究了当核函数满足一定条件时,通过弱化[68]中定理的核函数的条件,证明了带变核的多线性分数次积分算子在Herz型Hardy空间以及Hardy空间中的有界性。将部分已知结果进行了推广。 以下是各章的主要内容: 第一章设α0,β0。固定函数Ψ∈C∞(Rn)满足当|y|1时,ψ(y)=1;当|y|1/2时,ψ(y)=0。考虑定义在f∈S(Rn)上的振荡乘子算子其中KΩ,α,β是分布核满足且当y≠0时,y'=y/|y|,Ω为定义在单位球Sn-1上的光滑函数。 当Ω≡1,简记TΩ,α,β为Tα,β。关于振荡乘子的研究是有重要意义的。当0β1时,Tα,β实际上属于特殊拟微分算子S1-β,0-α类。而当β≥1时,该类算子与方程有紧密联系。下面是两个例子,它们与本文所研究的振荡乘子算子密切相关。为了方便,记算子Tα,β的乘子为μ(ξ)。 例1:Schrodinger方程的Cauchy问题:其解为因此,u(x,t)是以α=0,β=2时μ(tξ)为乘子的乘子算子。 例2:Wave方程的Cauchy问题:其解为因此,u(x,t)是以α=0,β=1时μ(tξ)为乘子的乘子算子。 本文第一章研究了0β1时,振荡乘子算子Tα,β在Triebel-Lizorkin空间中的有界性。 1965年,S. Wainger[65]得到了 (1)设0β1,1≤p≤∞。若|2/1-p/1|βn/α,则 (2)若则不成立。 1972年,Fefferman-Stein[28]证明了 (3)设0β1,若α=2/βn,则 那么,综合(1)、(2)、(3)结果,可有: 定理A([28、65])设0β1。若α=2/nβ,则算子Tα,β在Hardy空间H1(Rn)上有界。更进一步,算子Tα,β在Lebesgue空间Lp(R“)上有界的充分必要条件是对任意给定的 我们知道,当p≤1时,Lebesgue空间Lp(Rn)上许多性质不再保持。一个理想的替代空间是Hp(Rn)。譬如,Riesz变换不是Lp(Rn)上的有界算子,但它却在Hp(Rn)上有界。Hardy空间在算子有界性及偏微分方程研究中有许多重要应用,参见[20、24、42、50、56、59、62、67]。那么,当0p1时,Tα,β在Hp(Rn)空间中的有界性如何呢? 1979年,P. Sjolin[55]建立了 (3)设0β1,0p≤1。则当且仅当 结合A.Miyachi[48]定理4.1,我们可得: 定理B([48、55])设β≠1。算子Tα,β在Hardy空间Hp(Rn)上有界的充分必要条件是对任意给定的 综合定理A和定理B,不难得到以下定理。 定理C([11])设β≠1。若对任意给定的则算子TΩ,α,β在Hardy空间Hp(Rn)上有界。 实际上,在Miyachi[48]定理4.1中,当α,β满足一定条件时,同样得到了Tα,β:L1→H1,L1→Lq,Hp→L∞,Hp→BMO等有界。 由于Triebel-Lizorkin空间包含了上述许多重要函数空间,因此自然要问上述定理是否可推广到Triebel-Lizorkin空间?利用Triebel-Lizorkin原子分解定理D(详见第一章第三部分),结合核函数的估计,本章部分回答了这一问题。本章的主要结果是: 定理1.1.1设0β1。对任给的γ∈R,1p≤q≤2或2≤q≤p∞,若α≥nβ|1/2-1/p|,则算子TΩ,α,β在空间上有界。 定理1.1.2设0β1。对任给的γ∈R,1p,q∞或0q≤p≤1,若αnβ|1/2-1/p|,则算子TΩ,α,β在空间上有界。 定理1.1.3设0β1。对任给的γ∈R,若则算子TΩ,α,β在空间上有界。更进一步,对任给的γ∈R,若α≥nβ(1/p-1/2+σ),其中σ=1/q'-1/q。则算子TΩ,α,β在空间上有界。 第二章本章继第一章的讨论,考虑了β=1时,振荡乘子算子Tα在Triebel-Lizorkin空间的有界性。同时,我们也得到了当β1时,Tα,β在Triebel-Lizorkin空间的有界性情形。 在前面,我们已经知道口=1时,振荡乘子算子Tα与Wave方程的Cauchy问题有紧密联系。根据核函数Kα,β性质,我们知道Kα,1并不是Kα,β当β→1时的情形。否则从定理A和定理B可推知:Tα在Lp(Rn)空间有界的充要条件是对任意p∈(1,∞),而这与下面的定理E矛盾。究其原因,归根到底是由于当0β1时,核函数的奇性位于x=0处;当β1时,核函数的奇性位于|x|=∞处;而当β=1时,函数的奇性位于|x|=1处。更多具体关于核函数Kα,β的性质见[48]。从而,单独考虑β=1时,Tα在Triebel-Lizorkin空间中的有界性是有意义的。 1980年,Peral[52]建立了L的L有界性。得到: 定理E([52])算子Tα在Lp(Rn)空间有界的充要条件是对任意p∈(1,∞), 随后,G. Alexopoulous, M. Marias [1.44]分别在Riemannian流形和Lie群上研究了Tα性质。最近,Chen, Fan和Sun[12]在紧李群上得到了关于该算子在Hardy空间上的有界性估计且Fan和Sun[25]也在块空间上对Tα算子进行了研究。与Wave方程有关的振荡乘子Tα引起了许多学者的兴趣,许多学者对其进行了改进和推广,相关内容也可参见[46、51]]。重要的是,1981年,Miyachi将Tα的Lp有界性推广到Hp(Rn)空间,得到了以下主要结果: 定理F([48])算子Tα在Hardy空间HP(Rn)有界的充要条件是对任意 那么,同样考虑Tα在Triebel-Lizorkin空间的有界性。在本章,我们得到了以下主要定理: 定理2.1.1设γ∈R,1p≤q≤2或2≤q≤p∞。若α≥(n-1)|1/2-1/p|,则算子Tα在Fpr,q(Rn)上有界。 定理2.1.2设γ∈R,1p,q∞或0q≤p≤1。若α(n-1)|1/2-1/p|,则算子Tα在Fpr,q(Rn)上有界。 定理2.1.3设γ∈R,0p≤1q∞。若α≥(n-1)(p/1-2/1),则算子Tα在Fpy,q(Rn)上有界。 第三章在这一章,我们仍考虑相同的算子。但为了避免与Herz型空间定义的符号引起混淆。此处,我们记振荡乘子算子为Tγ,β。相应的核函数记为Kγ,β。 关于算子Tγ,β的有界性已经被许多学者研究过。例如:G. Alexopoulos, A. Miyachi, P. Sjolin, S. Wainger, Chen, Fan等,也可参见[13、26]等。那么,对于算子Tγ,β加权有界性结果,1984年,Chanillo[8]对该算子在加幂权Lp空间上进行了研究,具体得到以下定理: 定理G([8])设0β1。若γ=(nβ)/2,ω(x)=|x|α,α≤-n或α≥n(p-1),则对任给的p∈(1,∞),不成立。 实际上,对于算子在加幂权Lp空间有界性的研究,早在1957年,Stein[58]考虑奇异积分算子时,证明了: 若T在Lq(Rn)(1q∞)上有界且对(?)x≠0,则T也为加权有界。 1994年,Soria和Weiss[57]推广了上述Stein结果,使得调和分析中许多重要算子都满足Stein的结果。即:寻找满足一定条件的权函数ω,使得当核函数满足一定条件时,若算子T在Lq(Rn)(1q∞)上有界也可推出算子T在Lωq(Rn)上有界。这一推广激起了许多学者对算子加权理论的研究产生了兴趣。 事实上,1972年,Muckenhoupt首先证明了Hardy-Littlewood极大函数M在Lwq(Rn)(1q∞)上有界当且仅当ω∈Aq。由Muckenhoupt权函数性质知:若|x|β∈Aq当且仅当-nβn(q-1)。因此,从权函数观点来看,Stein结果也为Sharp的。 那么,若我们换个角度考虑Stein的问题。注意到(其中,等式的右边称为齐次Herz空间Kqα,p)。从而,Stein的问题转化为寻找合适(α,p,q)使得:若算子T在Lq(Rn)上有界且核函数满足一定条件时也可推出算子T在Herz空间Kqα,p上有界。 同样,从权函数角度来考虑Chanillo结果。注意到,带幂权|x|αp的Lp空间是迹空间Kpα,p(Rn)(具体关于Herz空间定义见第三章第二部分)。即 那么,要证明算子T在上有界转化为寻找合适(α,p,q)使得算子T在Herz空间Kqα,p上有界。由上述推导可以看出,定理G意味着至少对p=q1时,若α≥n(1-1/q),不成立。然而,[39]中证明了若0p≤1q∞,当α=n(1-1/q)时,算子仍是从Herz型Hardy空间H Kqa,p到Herz空间Kqa,p有界。准确的说,得到了如下结果: 定理H([39])设0β1。若0p≤1q∞,α=n(1-1/q),则 注实际上,在文献[39]中得到的是加权有界的结果。此处,为了方便,我们只表述非加权的情形。 一个自然的问题是是否可将定理H推广到较一般的情形。在本章,我们将定理H推广到所有的β0情形。 本章的主要结果: 定理3.1.1设若则 定理3.1.2设β=1,0p≤1q∞,α≥n(1-1/q)。若则 此处,为了方便,简记Tr(f)=Tr.1(f)。 定理3.1.3设β1,0p≤1q∞,α≥n(1-1/q)。若则 注3.1.4注意到,上述定理当β≥1时,将[37]结果全面进行了推广。但当0β1时,仍未解决。 第四章设Sn-1是Rn(n≥2)中单位球面,在其上装备了Lebesgue测度dσ(x'),称如果 (i)对任意x,z∈Rn和λ0,有Q(x,λz)=Ω(x,z); 设0μn,带变量核的多线性分数次积分算子定义为: 其中A为定义在Rn上的函数,m≥1,γ=(γ1,γ2,…γn)且γi(i=1,2,…,n)为非负整数。并记 1955年,Calder6n和Zygmund定义带变量核的奇异积分算子TΩ为: 并且在[4]中考虑带变量核的奇异积分算子Lp有界性。他们发现这类算子同带变系数的二阶椭圆方程密切相关。进一步,若对核函数采用球调和函数展开的方法,可得到: 定理I设z'=z/|z|,r2(n-1)/n。若变量核且满足则有成立。 随后,1956年,Calderon和Zygmund[5]运用旋转法,得到TΩ在更大范围的Lebesgue空间上的有界性。 定理J设1r∞,1p∞,p≥r'=r/(r-1).若且满足则存在一个常数C0使得 进一步,1978年,Calderon和Zygmund[7]通过考虑空间的维数n和放松对核Ω的限制,加强了TΩ的(p,p)有界性结果。 定理K若1r≤2,或2≤r∞,则有 那么,对于给定的p和维数n,此时,r的范围比定理J中r的范围大。 1986年,M. Christ, J. Duoandikoetxea等[18]进一步改进了上述结果,当p、r满足可以得到TΩ在L~P (R~n)上有界。 另外,由带变量核的奇异积分算子TΩ注意到关于带变量核的分数次积分算子TΩ,μ其定义为: 早在1971年,Muckenhoupt和Wheeden[49]给出了带变量核的奇异积分算子TΩ和分数次积分算子TΩ,μ的加幂权有界性;2002年,丁勇,陈杰诚和范大山[21]考虑了TΩ的(H~P, L~P)有界性和TΩ,μ的(H~P.L~q)的有界性问题,得到了当核函数Ω在Sn-1上满足一类L~γ—Dini条件时,对某些p≤1,TΩ和TΩ,μ分别是从Hp到Lp以及从Hp到Lq的有界算子。 随后,张璞,陈杰诚[70]将上述结果进行推广,得到了TΩ和TΩ,μ在Herz型Hardy空间中的有界性。此外,关于带变量核的分数次积分算子TΩ,μ或带变量核的积分算子的交换子在Hardy空间中的有界性,可参见[9、15、38、66、71]。 进一步,Herz空间和Herz型Hardy空间是调和分析以及相关课题中的重要函数空间,而最近,Zhang和Lan[72]讨论了带粗糙核的多线性奇异积分和分数次积分算子在加权Hardy空间上的有界性。那么,一个自然的问题是带有变量核的多线性分数次积分算子在Hardy空间和Herz型Hardy空间中是否有界?本章将回答这一问题。 最后,应当指出,带变量核的多线性分数次积分算子并非积分算子及一阶交换子的平凡推广,其计算复杂,因此增加了论证的难度。本章主要在[67、70、73]基础上再结合[22]的思想以及某些技术的处理,弱化了[68]中定理条件,得到以下主要结果: 定理4.1.1设0μn-β,0β1,DγA∈A_β。若存在实数使得满足Lγ一Dini条件,则存在不依赖于f和A的常数C0,有 定理4.1.2设0μn-β,0β1,DrA∈Aβ,n/(n+β)p 1,若存在实数使得满足 则存在不依赖于f,A的常数C0,有 推论4.1设0μn-β,0β1,0p1≤p2∞, 1若存在实数使得Ω(x,z)∈L∞(Rn)×Lr(sn-1)且满足Lr-Dini条件,则存在不依赖于f,A的常数C0,有 注4.1定义 其中重复上述定理证明,可以验证满足上述定理结果,且界为


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