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复杂网络上的级联失效及其与病毒传播相互作用的研究

欧阳博  
【摘要】:网络结构在我们身边比比皆是。有时,网络结构是以实体形式存在的,如因特网等,有时并不存在实体的网络,但网络是用来描述个体之间相互关系的一种自然的方式,比如人际关系网等。这两方面的结合使网络成为复杂性研究中一种有力的建模工具,并由此形成了一门新的交叉学科,即复杂网络科学或者网络科学,其研究涉及数学、物理、生物、管理、社会科学以及信息科学等多个学科。 本文以通信网络为背景,应用复杂网络中的相关理论和方法对网络上的级联失效与病毒传播进行了若干研究,具体包括下面几个方面: 1.节点移除对网络负载的影响研究。在复杂网络中,级联效失效作为一种广泛存在于多种不同网络上的动态过程,已经被研究了十数年,但由于该现象的高度非线性,对它的理论研究难以展开,其与网络拓扑结构之间的相互关系也一直没有得到系统的研究,目前这仍然是开放且备受关注的课题。我们并没有对之进行直接探讨,而是从另外一个角度展开了努力:我们研究网络拓扑的变化——具体地,节点的删除——对网络上的负载会产生怎样的影响。我们考虑一个正进行数据传输的通信网络,在网络优化阶段有一些节点可能被刻意移除,或者在网络运行阶段有一些节点可能遭受攻击或者发生失效,从拓扑角度而言,它们都相当于从网络中被“删除”了。我们用节点的介数来度量其负载,用所有节点的介数之和来度量网络的总负载。我们得到了如下结论:1)在删除一个节点的情况下,剩余网络的总负载在删除前后的变化量与所删除节点的度数是正相关的。2)在删除多个节点的情况下:若删除网络中度数/介数较小的那些节点,网络总负载减小;而若删除网络中度数/介数较大的那些节点,网络总负载急剧增大。我们展示了这两种方式下网络的负载变化之悬殊。此外,当删除度数/介数小的节点时,不仅总负载是减小的,那些往往是网络性能瓶颈的hub节点的负载也是减小的。这些结果能够加深我们对网络拓扑结构与其上负载乃至级联失效之间关系的理解,对通信网络拓扑优化等问题的解决也可资借鉴。 2.病毒传播与级联失效相互作用的研究。近年来,人们认识到,在复杂系统中,不仅存在个体之间的互作用,还广泛存在不同子系统之间的相互作用。这使得耦合网络称为近年的研究热点。该研究又进一步启发研究者去关注网络上多动态过程的耦合,比如感染病的传播和关于感染病的舆论传播之间的相互耦合等。网络本身的耦合体现的是复杂系统中子系统之间相互作用关系的复杂性,而动态过程的耦合体现的是复杂系统上的行为的复杂性。这种研究刚刚起步。在此背景下,我们率先开展了病毒传播与级联失效的相互作用研究。病毒传播和级联失效是复杂网络中两个吸引了广泛关注的领域。一方面,传统研究中对它们探讨是相互独立的;但是另外一方面,在实际中有许多两个过程同时存在、且一者发生时另一者的影响不能忽略的例子。比如在通信网络中,当有病毒传播时,会影响数据传输,导致网络中负载的变化,从而可能引发级联失效。这个现象在实际中已经被观察到。我们对这个现象进行了建模,提出了一个SIR病毒传播和局域负载分担的级联失效相互作用的模型。该模型揭露了许多新的现象:当节点容量非常小的时候,网络中容易发生级联失效,网络的稳健性较差,节点的容量非常大的时候,病毒传播容易进行,网络的性能同样较差,只有节点容量落在某一范围内的时候,网络中才会存在由未感染且未失效的节点形成的大规模连通子集。我们在随机以及更一般的度不相关网络中对一些现象进行了理论分析,重点对网络中存在大规模连通子集的容量的范围进行了理论推导,以深化对这两个动态过程相互作用的理解。这一研究推进了对网络上多动态过程耦合的研究,同时在某些应用场合下更符合实际,结果也更有效。 3.计入节点负载与容量时病毒爆发条件的研究。近年来对网络上病毒传播的研究有一种趋势,即研究更为接近于实际、也就更为复杂的病毒传播过程。我们受此启发,在上一部分的基础上,进一步研究了在计入节点的负载和容量时,病毒传播会受到什么样的影响。在通信网络中,节点需要传输数据且容量有限,研究其上病毒传播时应当把这些因素考虑在内。传统病毒传播研究中的一个重要课题是病毒的爆发条件。在这一条件不满足时,病毒会逐渐消逝而无法在网络中扩散开来。若计入节点的负载与容量,这一条件会发生变化,因为病毒传播可能引发节点过载,甚至大规模的级联失效,这会阻碍病毒的传播。我们对此时病毒爆发的条件进行了理论分析:首先,我们分析了在病毒未扩散开来的情况下,稳态时网络中失效节点和因感染病毒而被移除的节点的比例;在此基础上,我们通过动力学分析,得到了在计入节点的负载和容量的情况下,病毒爆发的条件,这一条件是由是由描述病毒传播速率的传播概率与描述节点容量大小的冗余系数共同决定的;最后,我们通过探讨表明,当病毒传播速率一定而冗余系数变化时,病毒恰好开始传播的临界点附近未感染且未失效的节点的数量是最大的,这表明通信网在这一临界点上处于最佳的工作状态,因此给出病毒爆发的临界条件具有重要意义。


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