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组合构型、格镶嵌及其在信息科学中的应用

张韬  
【摘要】:本学位论文涉及了代数编码,代数组合,格镶嵌中的若干问题及其在信论中的应用。本文的主旨是利用组合观点,应用抽象代数,代数数论和特征理论来研究这些问题。在第2章,我们考虑了两种形状的镶嵌问题。其中一个是十字形,半十字形和准十字形。由于一些物理原因,闪存在电荷写入与电荷擦除这两个过程中的不对称性导致了某个特定区块会产生显著的错误。这种错误让我们有理由去把有限量级错误模型应用到闪存上,而有限量级纠错码等价于十字形,半十字形和准十字形的镶嵌问题。对于这一问题,我们推广了原来绝大部分的构造,给出了一类准完美码的构造。同时,我们还给了一个一般的完美码的构造,得到了一些新的完美码。另外,我们还证明了一些完美码的不存在性结果。特别地,我们完全解决了Schwartz (European J.Combin.,vol. 36, pp.130-142, Feb.2014)留下来的问题。另一个是在lp度量下的球。在1970年,Golomb和Welch给了一个著名的猜想:当n ≥ 3, r1,不存在长为n半径为r的完美Lee码。我们证明了一些在lp度量下的完美码的不存在性结果。特别地,我们的结果进一步证实了Golomb-Welch猜想。另一方面,由于大家都相信Golomb-Welch猜想是对的,那么构造接近完美的码就有意义了,我们给出了一个准完美lp码的代数构造。在第3章,我们考虑自正交码及其在量子码中的应用。自对偶码是一类特殊的自正交码,它是线性码中最重要的一类码字,和很多其他领域有重要的联系,比如:格,设计,射影平面和不变理论。一般来说,构造极小距离相对较大的自对偶码是困难的。我们利用双循环构型和四次剩余构造了几类新的自对偶码,它们是二次双循环自对偶码的推广。数据说明我们的码比之前已知的最好码的参数要好。量子码主要用于在量子计算和量子通信中保护量子信息的脱散。构造量子码的一个有力方法是通过经典自正交码。我们利用常循环码,广义Reed-Solomon码构造了几类新的量子极大距离可分码。同时,利用一些多项式,我们给出了一类经典线性码的构造。通过这些线性码,我们得到了一些比已知结果参数更好的量子码。在第4章,我们考虑了两个其他与信息论相关的问题。一个是半正则相对差集。由于与两两无偏基的联系,半正则相对差集最近被广泛研究。半正则相对差集的研究主要集中在差集的存在性问题上。目前有大量的结果是关于(pa,pb,pa,pa-b)相对差集,其中p是一个素数;然而只有很少的结果是关于(mn,n,mn,m)相对差集,其中gcd(m,n) = 1。当gcd(m,n) = 1时,(mn,n,mn,m)相对差集的不存在性只在下面5种情形被考虑过:(1)m = p, n = q, p q; (2) m = pq, n = 3, p,q 3; (3) m = 4,, n = p; (4) m = 2 和(5) n = p,其中p,q是不同的奇素数。对于存在性结果,当群的大小不是素数幂且禁止子群的大小大于2时,有关半正则相对差集的构造只有4类。本文给出了一些新的(mn,n,mn,m)相对差集的不存在性结果,其中gcd(m,n) = 1。特别地,我们的结果是Hiramine工作(J.Combin. TheorySer. A, 117(7):996-1003,2010)的一个推广。另外,我们还给出了一类非交换(16q,q.16q,16)相对差集的构造,其中q是一个素数幂,q≡1(mod4)和q4.2×108。另一个是Grassmannian填充。在1996年,Conway,Hardin和Sloane提出了Rm上的n维子空间的填充问题。该问题的目标是寻找一个n维子空间集合,使得它们两两之间离得尽可能地远。这个问题可以看成是球码或者等角线问题的推广。我们利用差集和拉丁方给出了三类最优Grassmannian填充。在第5章中对其他工作做了简要汇报。


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