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风险理论中的若干随机模型及其应用

何文炯  
【摘要】: 风险管理贯穿于整个保险(广义)活动之中,因而风险理论是精算科学的核心之一。本文以人寿保险和年金保险为背景,提出若干随机模型,为寿险公司和社会保险管理部门进行制度安排、险种设计、保费计算、准备金计提等提供新的风险管理工具。本文还讨论了风险序,拓广了相关序的概念,研究了其性质,揭示了它与限损序和指数序的关系。 在人寿保险和年金保险中,死亡率和利息率是两个极为重要的随机因素。传统的精算理论假定利率为确定而仅讨论死亡率为随机的情形。然而事实上,利息率具有随机性。随着精算理论研究的深入,利率随机性的研究逐步受到重视。人们开始注意到,对保险组织者(保险公司和社会保险部门)而言,由利息随机性产生的风险可能是相当大的。一般地说,由死亡率随机性产生的风险,可以通过发行大量的(充分多的)保险单来分散,而由利率随机性所产生的风险则不可能通过增加销售量分散之。从这个意义上说,利息风险要比死亡率风险更为重要(伍超标(1995))。1970年代,利息随机性开始被作为精算假设(Pollard,J.H.(1971),Boyle(1976))。近30年来,人寿保险和年金保险中的双随机性(即死亡率与利息率均为随机)问题的研究逐渐成为精算科学研究的一个重要领域(Beekman and Fuelling(1990,1991,1993),De Schepper,De Vylder and Goovaerts(1992),Gary Parker(1994,1996),Andrew J.G.Cairns(1995),Griselda Deelstra(2000),L.C.G.Rogers,Wolfgang Stummer(2000))。 本文在Beekman,Fuelling,De Schepper,De Vylder,Goovaerts,R.Kaas和Gary Parker等人工作的基础上,提出了变额寿险和变额年金有关的几个模型。作为这些模型的一个应用,我国大陆社会养老保险制度转轨过程中政府对职工的历史债务估算被顺利解决。 第2章提出了具有一般形式的变额寿险的给付现值模型,适合于单生命状态和多生命状态两种情形: 其中B(t)为正值函数,y(t)=δt+β·Y(t)为息力累积函数,I(t)为示性函数。T为被保险人的余寿。这里考虑的险种,其给付额B(t)是可变的(定额给付是其特殊情形,过去一般只考虑给付额是固定的,如Beekman and Fuelling(1993),De Schepper,De Vylder and Goovaerts(1992),Gary Parker(1994),A.De Schepper,M.J.Goovaerts a川乡R水aas抑9孚)等一),其给付是即时的卿一旦被保险人死亡保险人就立即给付- 保险金,过去一般假定给付发生于被保险人死亡当年之年末,如Beekman and Fuelling(1993),De Sehepper,De Vylder and Goovaerts(1992),Gary Parker(1994),A.De Schepper,M·J·GQ0vaerts andR·Kaas(1997)等)。而对于利息随机性的假定,我们 采用了较为一般的独立增量随机过程。在较为一般且又更为符合实务要求的假 设下,我们得到了一份保单给付现值的各阶矩表达式。对于一组性质相同的寿险 保单,我们研究了当保单数量趋于无穷时,保单平均成本的极限分布和强大数定 律,并用随机模拟和非参数估计的方法给出了极限分布的分布函数表。 关于年金保险的双随机模型,过去一般只考虑确定年金,如Beekman and Fuelling(1990,1991),De Sehepper,De Vylder and Goovaerts(1992)。而我们在第3章 中则为具有一般形式的截断年金(确定年金、终身年金均为其特殊情形)建立了 给付现值模型: m£。{【T!,二} y=艺B.c(k).e一咐) 无=O 这里。(约为正值函数,试约为息力累积函数。在假定息力累积函数具有平稳独立 增量的条件下,得到了截断年金给付现值矩的一般表示。接着,我们又为一组终 身年金保单建立了给付现值的模型: 二[双] 凡一B艺艺e(“)e一“(“) l二l无=O 其中n为保单数。在。(,)与双(z=1,2,· 步研究了这组保单平均成本的极限分布, ·)独立的假定下得到了各阶矩,并进一 其主要结果是: 全一又e(、)e一(无)·;、斗。(。一二) 陀二二U 其中p、=只(Tl全哟。 前面的研究,不仅丰富了有关“双随机性”的理论,而且作为一个直接应用, 为我国大陆社会养老保险制度转轨过程中政府对职工的历史债务估算提供了有 力的工具。按照社会养老保险制度改革方案,职工被分为“老人”、“中人”和 “新人”,对于“老人”和“中人”,政府对其负有历史债务。近几年,不少学者 开始研究这一债务的规模,如宋晓梧(2000)、王晓军(2000)、何平(2001) 等。我们在第4章中所提出的估算方法,考虑到了利息的随机性,且这些模型适 扮净厂 合于一切统筹单位(县、市、省乃至全国).我们将即时给付的变额寿险模型与 变额终身年金的模型相结合,得到关于“老人”历史债务的估算模型: 山n之 Ll二艺艺{ X=x尺无=1 [玲! 艺Ble:(J)e一“(,)+B。(片)e一,(聆)} J=0 将即时给付的变额寿险模型与截断年金的模型相结合,得到关于“中人”历史债 务的估算模型: xR一1 LZ一艺 x=x。十1 。二〔军』 艺{艺Bz·el(J)·e一y(,)I(开全x;一x)+BcZ(Tlx)·。一”(介)} 己=17=劣R一x 接着,我们还以浙江省温州?


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