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On the Quadratures of Gauss-Type

杨士俊  
【摘要】: 工程与物理上,人们经常要遇到某类积分的近似计算问题。其必要性在Davis和Rabinowitz的专著[17]里已有充分的论述,我们不再多费笔墨。在众多的数值积分方法中,Gauss型求积公式无疑是相当重要的。我们的主要目的是讨论Gauss型求积公式.包括Gauss-Radau公式,Gauss-Lobatto公式,Gauss-Kronrod公式和新近发展的带函数导数值的Gauss-Turán公式等等。 设μ:R→R为给定的非降函数,它有无穷多个递增点,且它的所有矩都存在且有限,β_0=f_Rdμ(x)>0。那么,对于任意的多项式p,广义Stieltjes积分f_Rp(x)dμ(x)都存在。把Lebesgue-Stieltjes积分f_Rf(x)dμ(x)用于集合的特征函数上,则函数μ产生一个Lebesgue-Stieltjes测度dμ(x),该测度被称为m分布,有时我们也称之为(正)测度。其次,若x→dμ(x)是绝对连续的函数,则我们称其导数μ′(x)=w(x)为权函数。 对于任何的m分布来讲,总存在相应的正交多项式序列p_n(·)=p_n(·;dμ),n=0,1,…,它们满足pn(x)=k_nx~n+低次项,k_n>0,(pm,P_n)=δ_(mn),m,n≥0,其中(·,·)为内积,定义为 给定实直线上的m分布dμ,其n次正交多项式的零点为x_1,x_2,…,x_n。考虑数值求解积分 Gauss型求积公式的共同特征是用被积函数在上述零点(有时还需按某种规则加上其它的点)的函数值(某些时候再加上其导数值)的线性组合来逼近上述积分。它们的优点是具有很高的代数精确度,因而它们理应成为我们实用上的首选。但正交多项式的零点往往是些无理数,所以其高精度的优势往往因实际计算的舍入误差大打折扣。现代32位64位乃至高性能计算机的出现,使得舍入误差的影响已可有效地加以控制。所以,Gauss型求积公式重又成为数值求积中的新贵。 本论文按内容共分为五章。 在第一章中,我们首先粗略地回顾了一下数值积分的历史,接着为后续的章节大致地定下一个讨论问题的框架,并且引进一些必要的记号与预备的知识,作为后四章的铺垫。在第二节,我们回忆插值理论中重要的Langrange插值法,Hermite插值法以及Newton插值公式。设N为自然数集,N_0=Nu{0},P_n表示所有次数不超n的多项式集合,T_n(x),U_n(x)分别表示 浙 学 博 论 浙乳‘天军僻士花犬U 。次第一、第二类Chebyshev多项式.又设 X一X云 xj一x‘ 葱,j=l,…,几 (0 .0.2) 。ll 一一 X 饭“1,葱为 为任意n个不同点x,,xZ,…,x。处的Langrange插值基函数,而 。。(二)=fl(x一x‘) 云=1 (0.0.3) 为节点多项式. 引理O.0.L 第一章中第一个重要的引理来自【49}. 设石:,…,认为。个不同点,且f(川在乐,‘=1,…,。,的近旁连续,则 f畔+1,…,票十‘卜 亡共碑 蕊或J“’ :{,(。211(;一“)一‘一‘}· (0 .0.4) 粼=1,p祷F 当jl二…二九二2j一1,我们得到 升l,,x一石‘、,;,,,、、‘2,一l、 f‘I荟犷J,…,否护]=》二二丁一一二石((=升琴)‘,f,(z))之二‘,,(0 .0.5) 言(Zj一1)!“。。(x)·一一二一“ 其中山。(x)二n几1(x一公),f[《‘十‘,…,聆+11表示函数f(x)的重节点差商,节点石‘出现 j‘+1次,下同. 上述引理及其特例在第四、第五章起着关键的作用. 在第一章的后两节,我们主要是汇集了正交多项式的若干重要性质,如零点是实单重的, 都位于相应测度的支集内部,等等.当然,论及正交多项式与Gauss型求积公式,三项递归公 式与Christoffel一Darboux恒等式自然是免不了的.而前者又把我们引向Gauss求积公式的特征 值特征向量的计算方法,这是Golub及其合作者诸多重要结果中的一个.具体说来,是下面的 定理【42」. 定理0.0.1.Gos,节点x:为Jac的i矩阵人的特征值,而Goss权叨‘由下式给出 二‘=口。。子,1,‘=1,2,…,。, 其中。‘是人对应于x:的归一化特征向量,。‘,1为其第一个分量. 我们也把相当多的注意力放在了经典的正交多项式一Jacobi正交多项式、Laguerre正交多 项式、Hermite正交多项式一的特殊性质上.我们关心的另一类权是最近由Gori和Micchelli 于阵51中引进的.这是一个权函数类,其中的权函数能够展开成余弦级数.具体地说, C兄 二了i万万一艺’,,(二)几‘。(x),n oN, l二0 (0 .0.6) 其中求和号上‘的表示对应于l二0的项须折半.我们称之为Gori一Micchelli权函数类, wn,其中的权函数称为Gor卜M‘cche‘l‘权·它包含了第一类Chebyshev权分净 广义Gegenbauer权l装过l”+‘(1一二,)入,*一1. 黔 记为 以及 浙江大学博士论文亩 在第二章,我们主要讨论。分布的G~凡记翻公式和GauJ姐~Lobatto公式.对于左闭 的Gauss-Radau公式(对右闭的Gau,R“au公式,其结果是类似的,我们略去),我们首先 获得了一个一般性的结果,它把Gauss.Radau公式与Gaus。公式紧密地联系在一起,即 定理0.


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