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具局部粘弹性的弹性系统的稳定性

赵宏亮  
【摘要】: 本文研究粘弹性系统稳定性问题。 在实际的工程应用中,大量的构(部)件可以归结为各种类型的弹性梁。众所周知,最简单的梁的模型是Euler-Bernoulli梁。当梁的横截面的尺寸与其长度相比不能忽略时,需要考虑转动惯量的影响,此时梁的模型由Rayleigh梁给出。进一步,如果再考虑到由剪切力引起的偏差,就需要引入Timoshenko梁的模型。对梁的振动和控制问题,人们已经进行了大量的研究。传统的方法是在边界或内部引进反馈装置来控制梁的振动,以达到人们期望的目标。特别是,由于共振能够引起系统灾难性的破坏,可以运用上述方法来达到抑制振动的目的。 智能材料的出现为实现上述目的提供了新的方法。例如,可以将智能材料做成的补丁粘贴或嵌入到主结构中制成被动或主动阻尼器,这就导致了具部分粘弹性的弹性结构。这种结构的特点是,它的密度、弹性模量和阻尼系数等在补丁的边缘出现突变现象。这将引起数学处理上的困难。过去十几年,对阻尼分布在整个区域(整体阻尼)或边界上的弹性系统的稳定性已经进行了很好的研究。但是对阻尼分布在区域内部(局部阻尼)的情形研究的很少。这方面的工作最早可以追溯到Lagnese[40]和Ho[28],他们研究了带局部分布控制的波方程的精确能控性。高维的情形比较复杂,指数稳定性还依赖区域的几何性质,参见Chen et al。[11]。这方面的工作还可参见Zuazua[72,73],Liu[45]。 不同的粘弹性材料具有不同的力学性质。两种典型的粘弹性物质是Kelvin-Voigt(K-V)型和Boltzmann型的,它们分别服从K-V型应力-应变本构关系 (式中的“”’表示对时间变量,求导数)和Boltzmann型应力一应变本构关系 a(x,,)一/‘。(x,,一,)、(x,,)己,(:(x,一oo)一。) 一(X,·(X,‘)一“(X,芜一。·(·)。:(X,‘)一(X,‘一)!“·, 这里,松弛函数取为可分离变量的形式: 刀(x,s)=a(x)+石(x)夕(s),夕(co)=0。 阵7」中把核函数0(.)也称为松弛函数。K一v型应力一应变本构关系可以看成是 Boltzmann型应力一应变本构关系中松弛函数取为 刀(x,s)=a(x)+b(x)占(s) 时的特殊情形。其中占(s)是nirae函数。 具有粘弹性阻尼的系统的指数稳定性的研究,可参见Fabrizio et al.[z0],Li” et。1.[45,49]和chen et al.[14]中的工作。Liu et al.在[47]中详细地研究了具有 K一v型和Boltzmann型局部阻尼的弦振动问题,并比较了这两种粘弹性阻尼以及 粘滞阻尼各自对振动弦的能量指数衰减的影响,得出了能量的指数衰减与阻尼 系数的连续性的依赖关系.对于具有局部粘弹性阻尼的高维波方程的能量的指 数衰减问题,Liu et al.【51}和Rivera et al.【63」分别对K一V型和Boltzmann型的情 形进行了研究,在假设了阻尼系数是光滑的并且附加了一些结构性条件的情形 下,得到了指数稳定性的结果。[sl1中使用的工具是[31}中关于Hilbert空间中 压缩C0一半群指数稳定的一个充分必要条件,以及[45}和[48」中引入的频率域乘 子技巧.沁3!中使用的工具是【16」中的抽象Volterra方程方法。此外!咧中还用 到了零历史数据的假设。 本文研究的主要问题和结果如下: 在第l章中,我们讨论具有局部K一v阻尼的Timoshenk。悬臂梁的能量指 数衰减问题,导出了描述梁的横向和剪切振动的如下偏微分方程组: (l) 户@一!K(二‘一笋)+D,(叻,一乡)」,=O, 娜一(E帅,十几刃’一!K阿一树+D,(口一司卜0, 二{x=。=O,尹}x=。=O, 区(训一树+Ds(训一树}{脸:二0,(E师‘+几尹)}~:二O 给定初值 、(x,O)=二。(x),劝(x,O)=二1(x),沪(x,O)=沪。(x),必(x,O)=沪,(x),(2) 系统(l)的能量为 E(t) 2 rL /0(K同一沪{2十E了回{’十川访{2十引例2)“劣、 (3) 引入空间: H0(O,L)={二任H‘(0,L)}二(0)=O}, H=LZ(0,L)x LZ(O,L),V=H0(0,L)xHO(O,L), 尹L 11(切,沪).{孙一j0(p{叨12+几{沪12)“x, 1{(二,沪川 尤“(K}?尹一、“’+E‘,、‘,2“·,, 一一 2V 祝=V xH, {l(二,笋,:,劝)日乳=!{(二,甲))}幕+{l(v,劝)11介 则咒是一个Hilbert空间。在祝中定义线性算子风如下: 公(风)= {(?,一,任“ (:,哟任认T:二K(证一司十Ds(扩一砂)任H,(o,L), R:=E加,+几训任Hl(O,助,到L)二R(助=0, } 川二,、,。,、)一f:,、,生:,,与、、:)、. \尸lp/ 则共生成祝上的压缩C0一半群产‘。于是可以把(l)改写成火中的抽象发展方 程: { (访(艺),必(艺),公(亡),叻(艺))=共(二(艺),尹(艺),:(艺),砂(t)), (二(O),甲(O),:(O),动(0))=(二。,尹。,二1,沪1)· (4) 我们作如下的假设: (Hl)户,几,K,El,D。,D、任LOC(O,L):户,Ip,K,El全C0O,D。,D、全O IV (HZ)。,El,K,几在[0,L]上分段连续, (H3)int{x任{0,L}}D。0,或者D,0}尹O。 (H4)D。(石)o,或者D。(L)=D;(L)=o;并且D。(L)o,或者D。(L)=D孟怀)=o。 (HS)日。任C[O,L」,。全O,使得在[o,L」上D。三:D。。 (Hl,)户,Ip,K,El任Co,‘


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