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关于蒙特卡罗及拟蒙特卡罗方法的若干研究

雷桂媛  
【摘要】: 此论文主要阐述蒙特卡罗和拟蒙特卡罗方法在积分、优化和模拟方面的应用的若干主题。 第1章和第2章是关于蒙特卡罗和拟蒙特卡罗方法的预备知识。第1章介绍了蒙特卡罗和拟蒙特卡罗积分的误差估计并阐述了拟蒙特卡罗方法的优势,同时介绍了拟蒙特卡罗的标准优化方法,最后介绍了蒙特卡罗方法的起源—Metropolis模拟方法。因为随机数发生器是蒙特卡罗和拟蒙特卡罗方法的核心之一,所以第2章介绍了伪随机数和拟随机数发生器。此章还介绍了如何生成服从一定概率分布函数的随机数。 第3章提出了B样条光滑拒绝抽样方法。第2章介绍的标准拒绝抽样方法其实跟特征函数的蒙特卡罗积分有密切的关系。而由于特征函数的不连续性,蒙特卡罗积分应有的误差精度就达不到,拒绝抽样的效果也就受到影响。我们用B样条磨光技术在不改变积分值的前提下磨光特征函数,用可微的权重函数代替特征函数,提高了采样的质量。将B样条光滑拒绝方法用于重要抽样估计,数值例子显示拟蒙特卡罗积分的精度重新达到了O(N~(-1))的阶,而对于蒙特卡罗积分,采用B样条光滑重要抽样,其精度也比标准积分的精度O(N~(-2/1))好。由此间接证明了B样条光滑拒绝抽样比标准拒绝抽样有效得多。 第4章是关于蒙特卡罗积分的,得出了用于多重积分的精细对偶变数蒙特卡罗(fine antithetic variables Monte Carlo,简称FAMC)方法的误差估计式。对维数是s的二阶导数连续的函数来说,FAMC方法理论误差的阶是O(N~-(1/2+2/8))。我们同时也讨论了对偶变数蒙特卡罗积分(antithetic variable Monte Carlo,简称AMC)方法。对次数不高于2的多变量函数,AMC方法其误差阶是O(N~(-1/2)),但其系数比原始蒙特卡罗积分(MC)方法的误差阶的系数小。我们用C语言实现了并行计算程序,数值实验结果与理论结果吻合得很好。 摘要 第5章介绍了自适应拟蒙特卡罗全局优化(AQMC)方法。AQMC算法在 不可微函数的蒙特卡罗优化算法上大大前进了一步。首先改进了局部搜 索算法,使得搜索方向,搜索半径和搜索所计算的函数值个数根据已有的 搜索结果而自适应调整。其次引进了种群演化的概念,根据演化度产生新 个体,保证搜索的全局性。因为在搜索过程中会根据搜索中间结果进行调 整,所以此方法不仅可以加快搜索速度,而且可以平衡全局和局部搜索需 求。 第6章结合遗传程序设计方法和自适应拟蒙特卡罗优化方法用于预测问 题。在现实生活中存在许多随时间而变化的复杂系统和现象,人们通常需 要根据动态系统的观测数据建立合理的微分方程模型(动力学模型),为系统 分析、设计和未来状态的预报提供依据。我们用遗传程序设计方法优化常 微分方程右端的函数,用自适应拟蒙特卡罗优化方法优化函数中的系数。 在预测杭州市地区全社会用电量的实际应用中,所编写的程序取得了很好 的效果。 第7章是蒙特卡罗模拟和优化的结合。首先我们介绍了光在组织中传播 的蒙特仁罗模拟的完整过程,解释了如何利用第2章中介绍的随机数生成方 法根据实际问题产生随机数。然后用自适应拟蒙特仁罗优化方法来解决光 的传播的逆问题。在这一章我们进一步探讨了如何根据实际问题的性质来 平衡个局和局部搜索需求。 附录给出了相关程序的C语言代码。


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