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2-(v,k,1)设计的区传递自同构群

韩广国  
【摘要】: 本论文主要讨论区传递的2-(v,k,1)设计的分类,由4章组成。 在第1章中,我们对设计及其自同构群的历史背景和研究现状进行了全面的综述。在第2章中,我们介绍了群论和区组设计的若干基本知识。 Calpham[20]于1976年完成了对区传递的2-(v,3,1)设计的分类。对区传递的2-(v,4,1)设计的分类,Camina和Siemons[10]讨论了自同构群可解的情形,Li[49]讨论了自同构群非可解的情形。Li和Tong[50]分类了自同构群为可解群的区传递2-(v,5,1)设计。在第3章我们讨论自同构群为非可解群的区传递2-(v,5,1)设计。在[49]中,极小反例的方法起到重要的作用,但对于非可解的区传递2-(v,5,1)设计,极小反例的方法是无效的。这里有两个困难:(1)非可解的区传递2-(v,5,1)设计可能导出一可解的2-(v,5,1)子设计,(2)极小反例的集型稳定子群G_(B)可能是2,3-群。在第3章中,我们利用奇数次本原群的分类定理,运用Lie型单群理论,典型群的子群结构理论以及置换群的知识和技巧,完成了非可解的区传递2-(v,5,1)设计的分类,结果如下 定理3.1设G是2-(v,5,1)设计D的区传递的自同构群。若G是非可解群,则G是旗传递的。 由定理3.1以及Li和Tong[50]的结果,我们可以得到区传递的2-(v,5,1)设计的完全分类。 我们知道对于自同构群为可解群的区传递2-(v,k,1)设计当k=6,7,8,9,10时已进行了分类。因此对自同构群为非可解群的相应设计进行研究是很有必要的。在第4章中,我们对该类设计进行研究,得到下面的 定理4.1设G是2-(v,k,1)(k=6,7,8,9)设计D的区传递,点本原但非旗传递的自同构群。若G是非可解群,则 (1)当k=6,且(k,v)≠2时,G的基柱Soc(G)不是例外Lie型单群。 (2)当k=7时,G的基柱Soc(G)不是例外Lie型单群。 (3)当k=8时,G的基柱Soc(G)不是例外Lie型单群。 (4)当k=9时,除两个例外(E_6(3),~2E_6(3)),G的基柱Soc(G)不是例外Lie型单群。


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