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分形函数与分数阶微积分:构造性方法的应用

姚奎  
【摘要】: 分形,近年来引起人们广泛的关注,研究分形集合与分形图象的分形分析亦有了重大的进展。 几个分形函数,Weierstrass函数,Besicovitch函数,Rademacher函数,Takagi函数等,由于它们所特有的分形性质,在分形研究中占有重要地位,因此,它们的分形维数、图象模拟的研究,也成为当前的重要课题。 另一方面,分数阶微积分,作为研究函数的一个有力工具,近来也被用于对分形的研究。应用分数阶微积分来研究分形函数与分形图象,是这方面的一个重要问题。 本文主要利用分数阶微积分作为工具,研究分形函数的分数阶导数、分数阶积分与分形维数的关系。 第一章对本论文中涉及的主要概念与有关的研究成果作一综合介绍。 第二章研究一类Weierstrass函数W(t)、它的分数阶积分函数g(t)、分数阶微分函数n(t)的图象的维数估计,以及Besicovitch函数图象的维数与分数阶微积分的关系。 第三章计算Weierstrass函数的分数阶积分的精确Bouligand维数。 第四章获得了Weierstrass函数的分数阶微积分的精确K—维数与Packing维数。 主要定理有: (i)对于一类Weierstrass函数 它的。阶分数阶积分函数是 。(、):=D一“(w(,))=艺“k(“一,,又(。,“k),o。1; 户阶分数阶微分函数是 n(‘):=D“(w(‘))=艺入k(,一‘)认(1一户,久k kl 0井1. 我们有 定理o·1设1£2,o夕1,I=}o,z},。(t)是w(,)的夕阶分 数阶积分函数,则 dimor(夕,I)三5. 其中r(f。刀表示函数f在区间I上的图象. 定理0.2设1£2,o夕1,£1+。,或t)同定理0.1,则对于 充分大的入1,成立 dimor(g,I)=£一。. (11)对于另一类weiertrass函数 w(,)==艺久一aj sin(入,‘),Oa1,入1 它的。阶分数阶积分函数和赵阶微分函数分别定义为 l(t):二又入一勺剐。,码,。a十。1 J全1 7n(t):==艺A(1一吻Ct(1一。,洲,0。。,0a1,入1. 对于图象的K一维数,我们获得如下结论 定理0.3设。a十。1,I=[0,l],l(t)是如上定义的分数阶积 分函数,则 dim、r(l,I)三2一a. 定理0.4设。a十“1,I= dim、r(l,I)=2一a一。; {。,1},当八入。时,我们有 dimKr(阴,刃=2一a十拜· 111)考察如下的Besieoviteh函数 刀(。)=艺入扩一,,sin入、才,1。2,入、户。 我们定义它的分数阶积分函数和微分函数分别为 。(,):一艺入穿一2,S:(。,入、),O。1 、(t):一又平‘,Ct(卜。,、、), 0赵1 我们获得 定理0.5如果如上定义的岭)满足久k+1户、全入、1,无全1,1三 “三2,O。1,则 dim二r(b,I)三过立卫二r(b,I)兰 1+1 im (s一1、In久。 Int— (5一1)In入。+(2一s)In入。+l (iv)考察如(11)所述的分形函数,我们考虑它的:阶weyx一Marehaud 分数阶导函数州约,获得: 定理0.6设。?a1,对久场,我们有 dim二r(尸,I)三dim、r(尹,I)=dim尸r(尸,I)=dimor(尹,I)=2一a+:. 最后,对本方向的几个开问题作了一些介绍.


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