几个非线性发展方程（组）的精确解与Painleve分析

【摘要】： 本文针对几个非线性发展方程，做了以下几点工作： (1)通过一种新的变换将一类非线性偏微分方程化为常微分方程，然后用待定函数法求解常微分方程，得到非线性偏微分方程的精确解和孤立波解。Burgers方程和Whitham—Broer—Kaup浅水波方程组为例来说明这一方法。 (2)利用Jacobi椭圆函数展开法和数学计算软件(Maple，Matlab，Mathematica等)，可以求得一类常系数非线性发展方程的双周期解，这些解能退化成孤立子解、冲击波解、三角函数解。我们对此方法做了如下几点改进：①用统一的Jacobi椭圆方程组代替单个的Jacobi椭圆函数，避免重复计算；②将Jacobi椭圆单函数展开方法推广到Jacobi椭圆双函数展开，这样可以得到更多的解；③将通常使用的三个Jacobi椭圆函数推广到多个Jacobi椭圆函数，丰富了用Jacobi椭圆函数表示的解的内容。利用改进的Jacobi椭圆函数展开法，求解了BBM方程和Boussinesq方程组。 (3)通过对耦合的KdV方程组u_t+w_x+uu_x+u_(xxx)=0，v_t+(uv)_x+w_x=0的Painleve性质的分析，证明了该方程组具有Painleve性质，在Painleve意义下可积，并给出了此方程组的一个自Backlund变换。利用自Backlund变换，我们从原方程组的一组平凡解，求出了方程组的孤立波解。 (4)利用截断的W．T．C方法讨论了如下形式的(2+1)维推广的Boussinesq方程u_(tt)—u_(xx)—u_(yy)—(u~2)_(xx)—u_(xxxx)0，得到了该方程的类孤子解。