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Banach空间上的随机加权和的收敛性

于华  
【摘要】: 本文讨论了在p型和B凸Banach空间上的随机加权和sum from i=μn to V_n a_(ni)X_(ni)的Υ平均收敛性及依概率收敛性,并从中给出了满足这些收敛性的充分与必要条件,以及在p阶光滑Banach空间下鞅差阵列随机加权和sum from i=μn to V_n a_(ni)D_(ni)的Υ平均收敛性及依概率收敛性。在以往的文献中讨论的随机加权和多为sum from i=1 to n a_(ni)X_i这种形式,而本文给出了在更一般形式下随机加权和的收敛性,并对以前的一些定理作了一些适当推广。从1978年起人们开始研究在可分的Banach空间或可分的线性赋范空间的随机元的随机加权和的收敛性,读者可以参考Wei和Taylor(1978a,b),Taylor和Calhoun(1983),Ordo(?)ez和Cabrera(1988),Wang和Rao(1995),Hu和Chang(1999),T-C.Hu et al.(2001)等人的文章。针对p型和B凸Banach空间,Wang和Rao(1995)在随机元序列为随机有界的条件下,获得了下述几个结论: (B,‖·‖)是实可分的Banach空间1≤Υ<2,则下列陈述是等价的: (a)′对某一p,Υ<p≤2,B是p型Banach空间; (b)′X_n是B空间上均值为0的随机元,a_(ni)是随机变量,并满足下列条件: (1)′{X_n}<.X,且EX~Υ<∞, (2)′|a_(ni)|依概率收敛到0,且sum from i=1 to m_n |a_(ni)|~Υ是一致可积的, (3)′任意n≥1,有{a_(ni)X_i,1≤i≤m_n}是一列相互独立的随机元;每一个n和i,a_(ni)和X_i独立,则有:sum from i=1 to m_n a_(ni)X_i Υ平均收敛到0。 (B,‖·‖)是实可分的Banach,则下列陈述是等价的: (a)′B是B凸Banach空间; (b)′{X_n,n≥1}是B空间上均值为0的独立随机元序列,a_(ni)是随机变量,且满足下列条件: (1)′对每一个n,m,i,X_n和a_(mi),是相互独立的, (2)′{X_n)<.X和EX<∞, (3)′|a_(ni)|依概率收敛到0, (4)′E(sum from i≥1 to |a_(ni)|)<∞,则有:sum from i≥1 to a_(ni)X_n依概率收敛到0。 (B,‖·‖)是实可分的Banach空间,则下列陈述是等价的: (a)′B是B凸Banach空间; (b)′{X_n,n≥1)是B空间上均值为0的独立随机元序列,a_(ni)是随机变量,且满足下列条件: ,Jl口子月.布 、、刀声、l口口、、月了、l口 11Q习nJ4 廿了‘了矛.、了f..、,了‘、 则有: 对每一个。,。,云,X。和a。、是相互独立的, {瓜}.X和EXco, Sup}a。‘}依概率收敛到。, 云1 艺}嘶;}一致可积, z1 艺鲡瓜1阶平均收敛到0· }行{!)是实可分的,。aC、空问1::2,则下列陈述是等价的: 袋扎拭就飞盖鬓罢“黑一列随机变‘,并满足下’l,条”: lim xrP{X二}=0, Ba)句 (1)’{X。}.X,且 (2)’ 1」laX 1(坛m。 }a。,}依概率收敛到o,且艺}a。、}r是一致可积的, 住二二1 (a)’摇悬。:,有,{awt、,、:、:二打是一列相互独立的随机元;且每一个。和i, 阮、和从独立, 则有:艺a瓜X、 依概率收敛到0. (B ·!})是实可分的 Ba、ae矛‘空l司x兰:2,贝,1下歹,l陈述是等价的: Baoach空间; (a)‘对呆一p,r,52,。及p义。。,‘。 (ti)’X。是B空间上均值为0的随机元 一八n口盛11 对某一”,r刀丈2.”友灯笙 嘶:是一列随机变量, 。全1,1三坛三。、并 满足下列条件; (一),任意。全l有, {弋,n之1}是一歹,J独立的随机元系歹,),且{a二:,1三乞兰。。,。全l} 和{X。,。全l}独立, (2)‘{Xn}·X,且J火么,rp{X‘}=。, (3)‘ (4)‘ 则有: 1llaX 1三坛兰m。 }an*}依概率收敛到。, 1llaX 几1 E又际‘「一r耳 觉。。、依概率收敛到0. 坛二1 本文第一章推广了上述结果。我们对上述定理的条件进行弱化:首先,用随机元阵列 替换随机元序列。其次,针对上面前三个结论,通过应用文献[0]给出的随机元阵列关于 随机变量阵列一致可积的定义,去掉随机元序列随机有界条件而换为随机元与加权系数 一致可积条件,从而使所得命题1、命题2、命题3更具一般性;针对上面后两个结论, 去掉随机元序列随机有界条件而换为一个较弱的条件,从而得命题4和命题5。所得结 果为: 命题1:(B,}】·}}) 是实可分的Baoach空间1三r2,则下列陈述是等价的: (a)对某一p,rp三2,B是p型Ba椒 (b)瓜、是B空间上均值为0的随机元 甄*是随机变量,户、三乞兰汽,且满足下列条 件 (1){日瓜‘!},}是关于{Ia。‘Ir}一致可积, (2)sup n七1乞 艺E}a。‘lrEllX。‘Ilrco, Fn (3)任意ao,}Lmoo艺E(Ia几‘,rl[Ia几‘}a])Ell瓜、Ilr- (4)任意。全1有, 和犬刀‘独立, 夕n 则有:艺嘶,Xn‘ Z=拌牡 名=产几 {嘶‘瓜‘,拜。三乞三蛛}是一列相互独立的随机元,每一个。和 :平均收敛于0. 命题2:(B,}卜}})是实可分的Banach


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