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区间Bézier曲线曲面的性质

魏永伟  
【摘要】: 近年来有关区间Bézier曲线、曲面的研究很多,作者简要回顾了Bézier曲线曲面的发展历史、Bézier曲线曲面的升阶、离散等性质,并结合区间算术,来研究区间Bézier曲线曲面的性质。 若把n次区间Bézier曲线升一阶,其区间控制顶点将增加一个,组成区间曲线的元素也会增加,并且有些n+1次曲线和原来的n次曲线是不等价的,即不能由原区间曲线中所含的n次Bézier曲线直接升阶得到,这样从曲线的角度来看,升阶后的区域与原来的区域是不相等的!但是,若作为点集它们是等价的!同样地,区间曲线离散一次后,控制顶点也增加了,其带状区域中的部分曲线是不连续的。但是,作为点集区间曲线所表示的区域在离散前后是没有改变的!因此,区间曲线具有升阶和离散性质。 第二章把Bézier曲线、曲面的升阶公式推广到区间Bézier曲线、曲面,并提出区间控制多边形的概念。证明了在不断升阶的过程中,区间控制多边形收敛到原区间Bézier曲线、曲面。这里的升阶公式可用于将低次的区间Bézier曲线、曲面转换成高次形式,并且升阶可以增加控制顶点的数目,便于更加灵活地对这些区间曲线、曲面作形状控制。由升阶公式和升阶的收敛性可得到一种简洁有效的区间Bézier曲线、曲面的几何作图方法。 第三章研究了区间Bézier曲线、曲面的离散性质,证明了离散不断进行时,区间控制多边形收敛到原区间Bézier曲线、曲面。由离散公式和离散的收敛性可得到另一种简洁有效的区间Bézier曲线、曲面的几何作图方法。第四章把升阶和离散性质推广到有理区间Bézier曲线曲面。 最后本文指出区间Bézier曲线具有保凸性质、变差缩减性质及导数性质。


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