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一类非线性扩散方程的单调迭代数值解法

王宏良  
【摘要】:本文主要运用一种具有全局收敛性的单调迭代法求解了一类非线性扩散方程的数值解。这类非线性扩散方程在众多领域中出现,例如热传导过程,反应扩散过程以及数学生物领域。我们在求解这类方程的过程中,提出了一个新的单调迭代法迭代初值存在条件,给出了一种寻找单调迭代初值的新方法,并构造了相应的迭代格式来解决这类方程的离散问题,而且将一种并行算法和单调迭代结合起来使用。 第一章介绍了这类非线性扩散方程的物理背景以及单调迭代法的大致过程。 第二章主要给出了单调迭代初值的存在条件及寻找方法,并构造了单调迭代格式。首先,我们找到了一种差分方法,这种差分方法既能保证差分格式的绝对稳定性,又能使差分后得到的离散方程组符合我们单调迭代法的运用条件。然后,我们给出了有序上下解存在的方程限制条件,以这对有序上下解作为迭代初值,并给出一种寻找有序上下解的方法。接着,我们根据离散方程组的特点,构造出了一种单调迭代格式。 第三章主要证明了单调迭代格式的收敛性和解的唯一性定理。在这里我们证明了,如果以有序上下解为迭代初值,通过第二章构造出来的迭代格式进行迭代,那么得到的两个迭代序列是收敛的。另外,我们还证明了,当时间差分步长满足一定条件时,离散问题的解肯定是唯一的,也就是得到的两个迭代序列收敛到同一个解。 第四章我们引入一种并行算法,将并行算法和单调迭代结合起来求解离散方程组,从而达到提高计算效率的目的。 第五章我们给出了一个数值例子,用本文提出的方法求解非线性Burgers-Huxley方程的初边值问题的数值解,说明了我们的数值求解方法的有效性。


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