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Adomian分解方法及其最新进展

骆兴国  
【摘要】:Adomian分解方法得益于Adomian教授的开创性研究,自提出以来已被广泛运用于求解各种数学物理问题,比如微分方程,偏微分方程,延迟微分方程,积分微分方程以及随机方程等。分解方法的特点在于所得到的解为级数形式,不仅具有很好的收敛性而且容易计算。 本文概述了分解方法的主要方面,包括基本原理,Adomian多项式,收敛性分析,噪声现象以及部分解技术等。我们把分解方法与传统的Taylor方法和Runge-Kutta方法进行了比较,数值结果表明分解方法不仅效率高而且便于计算机实现,有时候甚至能够得到解析解。我们用大量数学物理中的实际例子,例如,波动方程,变系数偏微分方程和热传导反问题,来阐述分解方法的具体运用和适用性。 许多研究人员也提出了一些对分解方法的修改以处理部分特殊问题。比如,在求解两点边值问题时就需要特别注意,这时需要采用待定系数法,最后会涉及到系数方程组的求解;在处理奇异边值问题时需要重新定义逆运算;不少研究人员还把分解方法与Laplace变换和Padé逼近相结合来进一步提高分解方法的精度。 然而,分解方法还存在一些不足之处。幸运的是,在最近的研究中我们已提出了很好的解决方案,并且从本质上进一步完善了分解方法。此外,我们也对分解方法进行了部分修改,发展了能减少计算量的两步分解方法。在论文的最后,我们给出了这一领域值得关注的热点,以便今后的深入研究。


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