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一类椭圆型偏微分方程反问题的无网格方法

金邦梯  
【摘要】:反问题出现于大量工程和科学领域并起着关键作用。实际问题的物理过程经常可用偏微分方程来描述,因此大量实际反问题的计算归结为求解偏微分方程反问题。 本文考虑这样一类反问题:椭圆型偏微分方程Cauchy问题。众所周知,椭圆型偏微分方程Cauchy问题高度不适定。本文给出如下方程相关的数值结果:描述稳态热传导、无损检测和地球物理中的Laplace方程,描述声波分析、电磁场、膜和其它结构的振动和散热片中热传导过程的Helmholtz型方程以及线弹性力学中的Navier方程组。 本文考虑几种无网格方法应用于求解椭圆型偏微分方程反问题。这些无网格方法可用径向基函数配置点方法这个框架统一描述。文中给出了Laplace方程和Navier方程组的数值结果,考察了插值矩阵的病态性以及径向基函数中形参数的影响。数值实验表明,使用正则化方法如截断奇异值分解或者Tikhonov正则化求解配置点方法离散偏微分方程所得到的线性方程组,不仅能够克服插值矩阵的病态性,也使得数值解的精度与形参数相对无关,部分解决了选取合适的形参数这个凼难问题。数值实验表明,径向基函数配置点方法与正则化方法耦合能有效求解椭圆型偏微分方程反问题。 针对特定问题如Laplace方程、Helmholtz型方程和Navier方程组,可应用基于算子的径向基函数来提高计算效率。分别取微分算子的基本解和通解作为径向基函数,得到基本解方法和边界节点法。文中应用第一类Fredholm积分方程理论解释了基本解方法的病态性,并建议使用正则化方法克服问题的病态性。用于求解齐次问题的边界节点法则被推广应用于非齐次问题,并应用于求解非齐次Helmholtz型方程Cauchy问题。 文中给出了数值算例说明了基本解方法和边界节点法求解椭圆型偏微分方程反问题的有效性,分析了基本解方法的收敛性,考察了光滑和分片光滑的几何区域以及数据精确和含有噪音两种情形。数值实验表明本文方法计算效率高、数值解精度高、对数据中的噪音稳定,并随着数据中的噪音含量的减少收敛于精确解。与现有方法相比,不失为有特色的方法。


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