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数值积分的若干问题研究

谢聪聪  
【摘要】: 本文主要研究了数值积分中的几个问题:最佳求积,带权函数积分的最佳求积公式和Hadamard有限部分积分的数值计算。 对自然数r和常数K>0,以KW~r[a,b]表示区间[a,b]上r-1阶导数绝对连续并且r阶导数f~((r))满足 |f~((r))(t)|≤K,a.e.t∈[a,b] 的函数f的全体所构成的Sobolev类。现在假设函数f∈KW~r[a,b]不知道其表达式,而只知其在一组给定节点x:=(x_1,x_2,…,x_n)∈R~n上的函数值和直到r-1阶的导数值。这些已知的函数值和导数值记为 称之为Hermite信息。如果对一组给定数据Y,有 利用这组给定数据,我们希望给出积分∫_a~b f(t)dt的最佳求积公式和误差估计。详言之,在所有可能的求积泛函Q:H_X~r(KW~r[a,b])→R中找出一个求积公式Q~*,使得对所有满足H_X~r(f)=Y的f∈KW~r[a,b]的积分∫_a~b f(t)dt的最大误差达到最小,即 那么称满足上式的求积公式Q~*(Y)为基于给定信息Y的最佳求积公式。同时其误差界R(Y)称为对积分的Hermite信息Y的半径。 关于求积公式的极值问题,通常还有Sard意义下的和Kolmogorov-Nikolskii-Schoenberg意义下的最佳求积公式两种。这两种最佳求积公式与上面提到的基于给定信息的最佳求积公式之间的区别是:第一,这两种求积公式都局限于在线性求积泛函中寻找;第二,它们没有利用给定的数据Y,而是在整个函数类KW~r[a,b]中寻求。而我们知道,信息的获取往往是有代价的,因而必须加以利用。因此,从某种角度来讲,上面提到的这两种求积公式并不是最理想的。我们在文中将详细讨论三种最佳求积公式之间的关系,并且提供了一种由基于给定信息的最佳求积公式得到其它两种求积公式的方法。 基于给定信息的最佳求积公式的概念最先由王兴华和宓湘江在文献[92]中提出,并且给出当r=2时具体的求积公式和误差估计。而r=1的情形也在文献[71]中给出。现在,本文利用一些代数上的技巧获得了在上述意义下r=3,4时的最佳求积公式和误差估计。这个课题进一步的发展可参见[76,77,79,94]。 另外,作者利用求得的最佳求积公式和误差估计的显式表达式得到一阶Iyengar型不等式 在三阶,四阶的推广。Iyengar不等式自从1938年Iyengar提出来之后,就不断有学者试图将它推广到更高的阶。但是,这些推广往往加了一些限制条件或者即使推广了然而并不是符合Iyengar原义的推广。这里,我们给出了Iyengar不等式在真正意义上的的推广。 本文还得到r阶Sobolev类KW~r[a,b]中带权函数积分的基于给定信息的最佳求积公式及其误差估计。文中讨论了如下形式的权函数ρ(t)=(1-t~2)~(m-1/2),(t-x_i)~(m-1/2)(x_(i+1)-t)~(m-1/2)(i=1,2,…,n-1),sin mt,cos mt,其中m为非负整数,并且就第一类Chebyshev权函数(1-t~2)~(-1/2)给出一些数值例子与Gauss-Tu(?)an求积公式进行比较。 本文最后一部分考虑Hadamard有限部分积分的数值计算问题。1932年Hadamard把高阶奇异积分的Cauchy主值中引起积分发散的项删去,将剩下的有限部分积分定义成高阶Cauchy积分的主值,称之为Hadamard有限部分积分。具体表达式定义为 其中ξ∈(a,b),p∈N_0:={0,1,…}。一般情况下,(1)式右端第二项的积分值是容易计算的,所以我们着重研究第一项积分的数值计算。 首先,我们可以将第一项积分写成差商的形式,即 无论是用Gauss型求积公式还是插值型求积公式来近似计算积分(2)时,求积公式中都将涉及到差商f[x_k,(?)]的计算问题,其中x_k是求积节点。那么当x_k与ξ充分接近时,直接用f在x_k和ξ上的函数值来计算差商将是非常困难的。在文中,我们用f的Lagrange插值多项式的差商来近似代替f的差商。该插值多项式是函数f在另一组节点a_0,a_1,…,a_n上插值得到的。虽然插值多项式中也涉及到在另一组节点a_0,a_1,…,a_n上差商的计算问题,但我们可以把这组节点的间距取得足够大,以便使计算能够顺利进行。 随后,我们利用对称群的循环指标多项式将求积公式显式地表示出来,并且给出一些数值计算结果。


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