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代数表示论在Hopf代数中的应用

程东明  
【摘要】: 本文用结合代数表示论的方法研究Hop玳数和弱Hopf代数的结构与表示。 我们首先把Artin环(Artin代数)看作自身的左正则模,证明了在它的直和分解式中的不可分解投射模P的重数等于相应的单模S作为某个除环上的向量空间的维数。 其次,为了用结合代数表示论的方法研究弱Hopf代数,我们研究弱Hopf代数的代数结构。我们以wsl_q(2)和vsl_q(2)为例,研究弱Hopf代数的代数结构。我们证明了弱Hop玳数wsl_q(2)作为代数是U_q(sl_2)和二元多项式代数的直和。从而将wsl_q(2)的表示归结为U_q(sl_2)和二元多项式代数的表示。而U_q(sl_2)和二元多项式代数的表示已被广泛研究。证明了wsl_q(2)的余代数结构是不可分解。证明了弱Hopf代数vsl_q(2)作为代数是U_q(sl_2)和平凡代数七的直和。还证明了wsl_q(2)作为余代数是可分解,并给出它的分解。为了研究wsl_q(2)和vsl_q(2)的余表示,我们给出wsl_q(2)和vsl_q(2)的余代数的Ext-箭图。然后我们全面考察了对应于U_q(sl_2)的所有可能的弱Hopf代数。发现总共有9个不同构的对应于U_q(sl_2)的弱Hopf代数。我们还讨论对应于U_q(sl_n)的弱Hopf代数的直和分解。 我们考虑点Hopf代数在代数和余代数上的作用。对于点Hopf代数的特例,群Hopf代数的作用与群的作用是等价的。我们特别考虑群和群代数在路代数上的分次作用。并给出计算实例。 结构常数是用来刻画结合代数的重要方法。我们发现余代数和Hopf代数的结构常数类似于代数的结构常数。我们引进高维矩阵用来描述余代数和Hopf代数的结构常数。我们确定了预余代数成为余代数和Hopf代数的条件,并用高维矩阵来刻画。


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