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基于小波与多重网格法求解偏微分方程

孙洁  
【摘要】: 小波分析作为一门新型的应用数学分支,系统地研究开始于20世纪80年代初期。从数学的角度看,小波分析是在Fourier分析的基础上发展起来的数学分支,是Fourier分析、泛函分析、数值分析的完美结晶。从信息科学的角度看,小波分析是时频分析、多尺度分析的进一步发展,已经成为信号分析和信号处理的新的强有力的工具。同时,在微分方程的数值解问题中,小波同样受到了相当大的关注。 而多重网格法已被广泛应用于各门学科和各种工程技术问题中,并且已从理论上证明多重网格法对于椭圆型问题是一种理想的数值方法,其计算工作量仅仅与网格节点数的一次方成正比,并且收敛速度与网格的尺度无关,从而特别适合于应用在超大型工程数值计算中。多重网格法中粗细网格之间的延拓和限制算子起了非常重要的作用,而常用的算子是线性插值算子与加权限制算子。 Briggs和Henson首先提出了多重网格法与小波的多分辨分析形式上的相似之处,他们认为多分辨分析中的尺度空间序列{V_j}_(j∈Z)与多重网格法中的粗细网格剖分Ω_(h_j),对应。 本论文根据这个特点,利用离散小波变换构造多重网格法中的限制算子和延拓算子,来代替传统的插值和加权算子,并应用于多重网格法中求解椭圆型偏微分方程。发现与传统多重网格法相比,小波多重网格法的数值结果能够达到更小的误差。并且从数值例子中发现在传统的多重网格法中循环7-8次得到的的结果与小波多重网格法循环1次得到结果相近,因此,小波多重网格法必然会加快收敛速度并减少计算时间。


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