Julia集为Cantor集的有理函数的动力系统

【摘要】： 在本篇博士论文中,作者系统研究了映射度不小于2,Julia集为Cantor集的有理函数,并得到了一系列结果。 首先,给出了一类有完全不变Fatou域的有理函数Julia集为Cantor集的充要条件,这个结果也将Branner-Hubbard猜想推广到有理函数情形。 其次,考察了有理函数Julia集上的不变线域,证明了有理函数的Cantor型Julia集上没有不变线域,并由此证明了这类有理函数的结构稳定性与双曲性是等价的。 然后,解决了Julia集为Cantor集的有理函数的拟共形刚性问题,即拓扑共轭意味着拟共形共轭,并且证明过程可以说明有理函数的Cantor型Julia集都是动力系统可去的。 接下来,研究了非双曲有理函数Cantor型Julia集上的共形测度,说明这类共形测度遍历分支的个数可以由Julia集上临界点与抛物不动点的个数控制。 最后,利用拟共形手术及之前得到的结论,证明了任意Julia集为Cantor集的非双曲有理函数都可以被Julia集为Cantor集的双曲有理函数来逼近,这是一个与双曲性猜想有关的结果。 以上完成的这些结果主要都是基于O.Kozlovski,沈维孝和S.van Strien对实多项武刚性的研究,以及邱维元教授和尹永成教授解决Branner-Hubbard猜想所得到的一系列结果。