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法形式及I-方法在偏微分方程中的应用

钟思佳  
【摘要】: 在本文中,首先我们将致力于应用I-方法研究紧致无边Riemannian流形上立方非线性Schr(o|")dinger方程的性质,然后用法形式方法探讨无限齐次波管R×M上Klein-Gordon方程光滑小初值解的整体存在性,其中(M,g)是Zoll流形,或者是紧致旋转曲面,最后将结合I-方法和类似于法形式方法的共振分解讨论R~2上径向对称初值Zakharov方程组的有限时间破裂解的L~2-集中现象。 作为本文的大前提,我们将概括全空间中Schr(o|")dinger方程的解的性质,主要包括H~1-临界、次临界,L~2-临界、次临界,解的局部和整体性结果、方法的总结和归纳,以及有限时间破裂解的L~2集中现象的一些基本的想法和发展过程。 之后,我们将考虑紧致无边Riemannian流形上立方非线性Schr(o|")dinger方程解的整体性质,包括: 1.高正则性解随时间的演化速度的估计; 2.用I-方法考虑低正则性解的整体存在性条件。 接着,我们将用法形式方法证明无限齐次波管R×M上Klein-Gordon方程光滑小初值解的整体存在性,其中(M,g)是Zoll流形,或者是紧致旋转曲面。我们还将对R~2×M的情形做一个简单的阐述。 最后,我们将结合类似于法形式方法的共振分解和I-方法给出R~2上径向对称初值Zakharov方程组的有限时间破裂解的L~2-范数集中现象的证明。并且简单介绍R上解的整体存在性结论.从而体现Schr(o|")dinger方程和Zakharov方程组在性质上的一些类似之处。


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