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紧流形上的非线性波动方程的长时间存在性

童常青  
【摘要】: 在本文中,我们主要讨论非线性波动方程在一些特殊流形上解的长时间存在性与整体解的存在性问题,涉及的流形主要是球面,环面及波管。 对球面上的非线性Klein-Gordon方程,Delort等利用法形式技巧证明了当非线性项满足一定的条件时,局部存在理论给出的解的存在区间的长度估计可以改进。我们在Delort等的工作基础上,对一些特殊的非线性项,分析了它的法形式的具体形式,并证明在一些特殊情况下,Delort等的结果可以改进。 对波管R~2×M上的非线性Klein-Gordon方程,其中M为Zoll流形,如果初值足够小,利用Zoll流形上Laplace-Beltrami算子的特征值的分布,并结合能量估计和法形式技巧,我们证明了整体解的存在性。 接下来我们对二维环面上的波动方程寻找一些特殊的整体解:周期解。它可以看成是带周期边值条件的解。这时候遇到的困难是小除数问题,为此我们选择一些特殊的数作为周期,并利用变分法可以证明这样的周期解存在。 最后我们利用Galerkin方法,对三维球面与环面上的Schr(o|¨)dinger-Klein-Gordon方程组,证明了整体弱解的存在性。


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