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C~n中奇异积分的一些研究

龚定东  
【摘要】: 多复变数的Cauchy型积分的边界性质问题的研究是多元复分析的经典内容之一.熟知,单复变数中奇异积分与奇异积分方程的理论已有详尽的研究,并且已广泛地应用于弹性力学和流体力学的研究之中.人们自然地想到在高维空间中用多复变数的Cauchy型积分来处理高维奇异积分问题. 陆启铿和钟同德于1957年首先研究了Bochner-Martinelli型积分的边界性质.之后许多国际国内的数学家加入了这一领域.比如:A.M.Kytmanov,E.M.Stein,N.Kerzman,龚升等.半个多世纪以来,随着多复变数奇异积分理论的进一步发展,它已和多复变数的其它课题的研究以及数学的其它分支联系在一起. 关于具有光滑边界的有界域上带有Bochner-Martinelli核的Cauchy型积分Cauchy主值和边界性质,陆启铿和钟同德[52]首先作了研究.之后钟同德[66]又研究了域的拓扑积的Bochner-Martinelli型积分边界性质,获得了Plemelj公式.孙继广[64]得到了带有B-M核的奇异积分的Poincare-Bertrand置换公式和合成公式.孙继广[64],钟同德[66][71]还研究了闭光滑流形上的带有Bochner-Martinelli核的奇异积分方程理论. 对闭逐块光滑流形上的Bochner-Martinelli型积分的边界性质,林良裕[44][45][46]作了详细的研究.这里流形上出现了不光滑的角点.Bochner-Martinelli型积分的边界性质更复杂了. 陈吕萍[22]研究了Stein流形上的Cauchy型积分Cauchy主值和边界性质. A.M.Kytmanov[34]比较完整地总结了至上世纪80年代的Bochner-Martine-lli型积分的研究成果及其应用.在[34]中可见Bochner-Martinelli型积分及其边界性质内容丰富,而且有十分广泛的应用,充分体现了B-M核以及Bochner-Martinelli型积分在多元复分析中的重要地位. 由以上的简单综述可见,具有B-M核的奇异积分的研究,内容己比较完整.相对而言,具有全纯核的奇异积分的研究还不够完整.这主要是因为不同类型域上的全纯核可能不同,而且具有全纯核的奇异积分的的Cauchy主值也随挖去邻域的不同而不同. 对于具有光滑边界的强拟凸域,W.Alt[5],N.Kerzman[32],E.M.Stein[60]分别研究了具有Henkin-Ramirez核与Szego核的奇异积分Cauchy主值和边界性质.龚升[19]则系统地研究了超球,四类典型域以及具有光滑边界的强拟凸域上的奇异积分与奇异积分方程.林良裕[45],龚定东[16][17]等则将[19]中超球上的奇异积分与奇异积分方程的理论推广到更一般的复双球垒域上. 对逐块光滑强拟凸流形上的奇异积分还有待研究. 到目前为止,人们对多复变数的奇异积分理论的研究,一般都是在C~n中的有界域上,而对C~n中无界域上的奇异积分理论的研究则很少见到。这里有很多工作要做。 本文中作者主要考虑C~n中一些无界域上的奇异积分.熟知,单复变数中.路见可[51]研究了C中实直线上具有Cauchy核的奇异积分.作者在此研究了两个C~n中无界域上的奇异积分,得到了一些与有界域不同的结果. 众所周知,C中上半平面与C中的单位圆盘双全纯等价.并且由[51]中分析可知,C中的实轴上的H~α函数等价与C中单位圆周上的H~α函数,因此C中的实轴上的Cauchy型积分的边界性质,与C中的单位圆周上的奇异积分的边界性质等价起来.而当n1时,C~n中的的上半空间,就是第一章中我们所考虑的无界域,它与C~n的超球不能双全纯等价,并且C~n中的实超平面上的H~α函数并不等价与C中超球面上的H~α函数.因而第一章中的C~n中实超平面上奇异积分并不是C中的实轴上的奇异积分的简单推广. 第一章中问题的关键是Cauchy型积分的主值的存在性。难点在于定理1.2.2的证明和定理1.5.2的证明。困难的原因在于这里的域是无界的。因此边界上∞处的Cauchy型积分的边界行为比有界域的情形更复杂。 本文第二章中,我们考虑中无界域上的含有全纯核的奇异积分。这里的域是所谓的Siegel广义上半空间 值得一提的是,Perkins Diaz,Katharine在[12]中研究了一类C~n中弱拟凸域上的奇异积分,得到了Plemelj公式及其L~p(1p∞)的有界性.但本文的第二章与[12]有所不同,首先,[12]中用的是Szego核,而本文中第二章用的是Cauchy-Fantappie核,这两个核的形式不同.其次,[12]只研究C~2的情形,其中的方法并不能简单的推广到C~n中去.而本文的第二章研究的是一般的C~n(n1)情形. 第二章中问题的关键还是Cauchy型积分的主值的存在性。难点在于定理2.2.2的证明和定理2.5.3的证明。困难的原因在于这里的域是无界的。因此边界上∞处的Cauchy型积分的边界行为比有界域的情形更复杂。 第一、二章中Cauchy型积分的主值以及Cauchy型积分的边界行为是问题的难点。幸运的是第一、二章中Cauchy型积分在主值意义下都存在。并且,Cauchy型积分的Holder连续性也存在。 本文的主要内容. 第一章研究了C~n(n1)中实超平面上Bochner-Martinelli型积分及其的边界性质.主要是定义了边界上的Bochner-Martinelli型积分的主值,证明了其存在性.我们得到了Plemelj公式.最后我们研究了Bochner-Martinelli型积分的Holder连续性. 第二章研究了C~n(n1)中广义上半空间D上的奇异积分.此处的核形式为全纯核K(ζ,z),这与第一章的B-M核U(ζ,z)不同.我们证明了核K(ζ,z)当z∈D时在边界上主值意义下的可积性和边界上的奇异积分主值的存在性.进一步我们得到了并且研究了Cauchy型积分的Holder连续性. 第三章中,研究具有光滑边界强拟凸域上的奇异积分方程与奇异积分方程组的正则化问题.我们利用A.M.Kytmanov[36]中的一种特殊的Cauchy主值的定义以及由此得到的Plemelj公式,证明了一个与通常的合成公式形式上不同的合成公式,并由此讨论一类具有常系数的奇异积分方程与奇异积分方程组的正则化问题.


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1 龚定东;C~n中奇异积分的一些研究[D];浙江大学;2008年
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