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几类算子在Triebel-Lizorkin空间上的有界性

张纯洁  
【摘要】: 本文主要研究几类重要的积分算子在齐次及非齐次型Triebel-Lizorkin空间F_p~(β,q)、F_p~(β,q)上的有界性。我们所考虑的算子包括粗糙核奇异积分、极大奇异积分、极大函数、g-函数及Marcinkiewicz积分。以上几类算子在L~p空间上的有界性目前均已经有十分广泛的研究。由于齐次型Trieble-Lizorkin空间是我们经常用到的L~p空间、H~P空间、Sobolev空间及BMO空间等的一个统一表述,所以本文的结果可以看成是已有的算子有界性理论的推广。但齐次型Triebel-Lizorkin空间比经典的Lebesgue空间广泛得多,在证明算子有界时,我们需要引入更多新的方法。 本文的第一章首先简要回顾一下某些基本函数空间的定义和它们的等价刻划,然后对相关算子的有界性理论作进行简要叙述。已有的大部分结果绝大多数只考虑线性算子,特别是卷积型积分算子,如奇异积分,震荡型奇异积分,Riesz位势等在Triebel-Lizorkin空间上的有界性,而对非线性算子,如极大奇异积分,Marcinkiewicz积分以及更一般的平方函数等则涉及较少,因此在Triebel-Lizorkin空间上它们的有界性基本上没有己知的结果。另外在第一章末我们还将讨论后文展开时所需的一些基本估计式 第二章研究两类奇异积分,证明这两类奇异积分在齐次型及非齐次型Triebel-Lizorkin空间上有界。我们将主要研究如下定义的奇异积分算子: 定义0.0.1设Ω∈L~1(∑)并且在单位球面上积分为零,则对任意f∈S(R~n),奇异积分T_Ω定义为T_Ω在经典Lebesgue空间上的有界性定理已经在现有的大量文献中给出,关于这方面的较为系统的综述,包括奇异积分的弱有界性、Hardy空间有界性等结果,可参见文献[37]。为引出本文第二章的主要结果,我们列出以下两个核函数条件较为一般的L~p有界定理。 定理0.0.2设Ω∈L~1(∑)在∑上积分为零,并且对某个α0满足则对(2+2α)/(1+2α)p2+2α成立。 定理0.0.3设Ω∈H~1(∑)并且在单位球面上积分为零,则奇异积分T_Ω在L~p(R~n),1p≤∞上有界。上述两个定理分别在文献[36]及文献[31]中给出证明。而在第二章中,我们将得到下面两个定理: 定理0.0.4设Ω∈L~1(∑)在单位球面上积分消失,若(0.1)式对所有的α0都成立,则相应的奇异积分T_Ω在F_p~(β,q),β∈R,1p,q∞及F_p~(β,q),β0,1p,q∞上有界。 定理0.0.5设Ω∈H~1(∑)且在∑上积分为零,则当1p,q∞时,T_Ω在F_p~(β,q),β∈R及F_p~(β,q),β∈R~+上有界。这里F_p~(β,q)及F_p~(β,q)分别是齐次和非齐次型的Triebel-Lizorkin空间(见1.1节定义)。注意到当1p∞时,F_p~(0,2)定义了经典的L~p空间,故定理0.0.4和定理0.0.5推广了定理0.0.2及定理0.0.3中的L~p有界,同时,它们也在更弱的核函数限制下推广了下列已有的奇异积分Triebel-Lizorkin空间有界性理论。 1990年,Han,Frazier,Talibleson和Weiss证明了非齐次核奇异积分在F_p~(β,q)上的有界性,他们的定理对核函数K(x,y)附加了较强的光滑条件,并且对F_p~(β,q)的指标也有约束,参见文献[38]。关于齐次核奇异积分,Chen,Fan和Ying在核函数Ω∈L~r(∑)的假设下,证明了T_Ω在F_p~(β,q)上的有界性,其中β∈R,1p,q∞,参见文献[11]。Jiang在其博士论文(文献[49])中将尺度条件Ω∈L~r(∑)放宽为Ω∈Lln~+L(∑)的情形。事实上,她进一步证明了满足这个核条件的T_Ω在某类加权Triebel-Lizorkin空间上的有界性。另外,文献[11]中还定义了一类超奇异积分并证明了以下定理: 定理0.0.6对于1p,q∞,令p=max{p,p/(p-1)},q=max{q,q/(q-1)}并且假设α0,r=n-1/n-1+α,N是使得4(N+1)pαq的最小整数。若Ω∈H~r(∑)满足对所有阶数小于N的球面多项式Y_m(x'),均有


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