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流形间有界失真映射和调和映射的研究

戴敏  
【摘要】: 本文主要研究有界失真映射在几何和分析上的性质。经典的Schwarz-Pick引理和Liouville定理已经被推广到几何上满足一定条件的流形之间的映射上。出发流形的曲率有下界,目标流形的曲率为负的有界失真映射的Schwarz和Liouville形式的结果已经有十分广泛的研究。本文的结果可以看成是Liouville定理在正曲率目标流形上有界失真映射的推广。这个证明用到了几何上著名的Bochner技巧,随后又证明了Hermitian流形上的Bochner公式并且用这个技巧研究了调和映射的解析性。 本文共分三章,第一章是预备知识,先介绍共形映射,G-共形线性变换,弱K-拟正则映射的调和公式等。然后详细介绍有界失真映射的发展,以及推广的Schwarz-Pick引理和Liouville定理的现状,包括拟正则映射的Liouville定理。最后给出了复几何上的一些知识,主要包括Hermitian复流形上的曲率,Hermitian向量丛上的曲率和诱导的联络与曲率等。 第二章研究流形间的有界s-失真映射(mappings of bounded s-distortion),证明这类映射也具有推广的Liouville定理的性质。我们主要研究以下定义的映射: 定义0.0.1 n维定向流形之间的光滑映射f:(M,g)→(N,h),关于度量g和h是有界s(0<s<∞)-失真的,如果它是一个常值映射或者局部微分同胚,并且存在正常数K,满足 有界s-失真映射的定义起源于二维复平面的有界失真映射(详见第一章),这是一个几何上的概念。当时人们发现有界失真映射和分析上的拟正则映射是相关的,而具有有界失真性质的微分同胚又和拟共形映射联系在一起。1928年,Gr(?)tzsch首次研究了光滑情形下平面拟共形映射(文献[])。1935年,Ahlfors将拟共形作为积分工具用到Nevanlinna定理的几何发展中(文献[],[],[],[])。Drasin在解逆Nevanlinna问题时也用到了拟共形映射(文献[])。1939年,Teichmuller在研究黎曼面上的极限映射时,发现了拟共形映射与二次微分的基本联系(文献[])。n(n≥3)维空间中的共形映射的第一个重要结果是由Liouville在1850年得到的(文献[]): 定理0.0.2给定一个R~n内的邻域Ω,和一个微分同胚f:Ω→R~n,f是共形的,如果Df(x)=λ(x)O(x),这里(?)∈Ω,λ(x)是数,O(x)是n×n的正交矩阵。这是一个非常强的刚性定理,是对经典的Liouville定理的推广。之后的数学家们尽可能地尝试降低它的条件,比如单射性和可微性假设。人们考虑了要求更低些的Sobolev空间W_(loc)~(1,p)(Ω,R~n)(1≤p≤∞),给出了在这个空间下的类似映射的定义:弱K-拟正则,K-拟正则,K-拟共形(定义详见第一章)。 之后人们发现,拟正则映射与非线性PDEs之间的关系可以用Beltrami系统(定义详见第一章)来表示。他们把系统中的矩阵G(x)理解成几何中的度量,于是把这些定义及已有的性质一起研究。直到1959年,Gehring和Lehto发现了拟共形映射在分析和几何上定义的等价性(文献[])。Ahlfors,Bers,Reich,Strebel和Lehto等数学家也已经研究了拟共形,Teichmuller定理,二次微分之间的关系(文献[],[],[])。 通过研究几何函数论,T.Iwaniec和G.Martin在欧几里德空间如下推广了经典的Liouville定理(文献[]或者[]): 定理0.0.3 (?)>1时,Sobolev空间W_(loc)~(?)(Ω,R~(?))上的每个弱1-拟正则映射f是常值映射,或者是R~(?)限制在Ω上的M(?)bius变换。 上面这个定理对偶数维空间成立,下面是对任意的n≥3都成立的光滑情形下的Liouville定理: 定理0.0.4([])f∈C~3(Ω,R~n),n≥3,f是Cauchy-Riemann系统D~tf(x)Df(x)=|J(x,f)|~(2/n)I的解,并且J(x,f)在Ω内不改变符号(称为J-不变),那么f肯定是以下形式的映射这里a∈R~n,b∈R~n,α∈R,A是一个正交矩阵,(?)是0或者2。 另一个关于共形映射的重要结果是Schwarz引理,经典的Schwarz-Pick(文献[])说: 定理0.0.5令D={z∈C‖z|<1},全纯映射f:D→D关于Poincare-Bergman度量是递减的,即这里D上的Poincare-Bergman度量定义为d_D(x,y)是相应的距离函数。 1937年,Ahlfors发现复平面上的共形映射的Gaussian曲率是常数,于是把Schwarz引理和Liouville形式的定理推广到单位球到双曲黎曼面的映射上(文献[])。之后,Chern将Ahlfors的结果推广到了高维复流形之间的全纯映射上(文献[])。后来这个推广后的引理也被S.Kobayashi,GriffithsWu,Lu(文献[],[],[],[])应用到了更加一般的出发流形和目标流形上。1970年,P.J.Kiernan研究了黎曼面之间的拟共形映射,这是Schwarz引理首次被推广到了非全纯的映射上。他运用了著名的Bochner技巧(文献[]),即计算出了一个包含出发流形和目标流形的曲率的公式。证明在一些特定条件下,调和的拟共形映射关于距离是递减的。 1978年,S.T.Yau在这个问题上取得了很大进步。此前所有的推广都对出发流形作了非常详细地要求,以此来保证函数的极大值点是存在的。Yau扔掉了这些假设,转而运用他在之前证明的结果,即有下界的C~2函数,在Ricci曲率有下界的完备的黎曼流形上存在一点,在这点的梯度,拉普拉斯算子,函数值都是有要求的。有关它的具体证明可参见文献[]。他的结果的推广主要朝两个方向发展:降低曲率条件或者K(?)hler条件的假设(文献[],[],[]),证明黎曼流形之间的调和映射的相似结果(文献[])。 把Yau的Schwarz推广到Hemitian流形上已经取得了不少成果。Z.Chen,H.Yang,S.K.Donaldson,D.P.Sullivan(文献[],[],[],[],[])和最近的V.Tosatti(文献[])都在这方面做出了巨大贡献。同时,S.I.Goldberg,Z.Har'el,T.Ishihara,N.C.Petridis(文献[],[],[],[])和C.L.Shen([])得到了黎曼流形间的Schwarz引理。 以下是Schwarz-Pick引理和Liouville定理推广到流形上的最新的结果(文献[])。 定理0.0.6 [推广的Schwarz引理]M和N是完备的黎曼流形,M的Ricci曲率有下界-K_1,N的截面曲率有上界-K_2,K_1,K_2>0。如果f:M→N是调和的K-拟正则映射,那么这里C是依赖于K和流形M和N维数的正常数。 定理0.0.7 [推广的Liouville定理]N是n-维黎曼流形,具有负截面曲率,f:R~m→N是调和的K-拟正则映射,那么f是常值映射。 可以看到,已有的结果假设出发流形的曲率有下界,目标流形的曲率是负的,并且映射都满足一些有界失真条件。所以我们会自然想尝试一下,如果把目标流形的曲率条件改成是正的,会不会也有相似的结果。M.Troyanov和S.Vodop'yanov在他们的文章(文献[])里提出了非常值的有界s-失真映射不存在的原因这个问题,在本文的第二章里,我们解决了这个问题,并得到下面三个结果(文献[])。 如果我们将定理0.0.7的出发流形R~m改为复流形,然后自然地将调和的条件加强为全纯(解析),并且对目标流形加上一定的正曲率条件,那么就有推广的Liouville定理: 定理0.0.8令(N,h)是复维数为n的完备的K(?)hler流形,f:C~n→N是全纯的。如果f是一个具有有界2s-失真的映射,N满足曲率条件(Q_s),则f是常值映射。这里完备的K(?)hler流形(N,h)满足曲率条件(Q_s)是指,对任意的非零向量域X=(?),都有 要证明该定理,首先考虑度量h的K(?)hler形式ω_h,证明如果(N,ω_h)是完备的K(?)hler流形并且满足曲率条件(Q_s),那么对N上任意的全纯域X,(1,1)形式K~X是正的。如果我们假设f不是常数,那么全纯映射f的拉回(1,1)形式T~X≥0,然后选取C~n上的一个非平凡的常全纯向量域Y并且令X=f_*Y,那么T~Y≥0,并且它的权函数|f_*Y|_h~2是多重次调和的。另一方面,根据f是有界2s-失真的,所以f_Y≤K~(1/s)|Y|_g~2,然后由C~n上的多重次调和性质,于是有f_Y是常数。最后由K~X的正则性得到(?)=0,即f是反全纯函数,所以是常值映射。 定理0.0.9令M是复维数为n的紧的K(?)hler流形,并且c_1(M)>0,则存在一个K(?)hler度量ω和一些s_0∈(0,n)使得具有2s(0<s<s_0)-失真的任意全纯映射f:C~n→(M,ω)是常值映射。 要证明这个定理,我们先证明曲率条件在几何上,等价于向量丛G=T~*M(?)K_M~(*1/s)的Griffiths正则性,即对于第一陈类c_1(M)>0的紧的K(?)hler流形M来说,非典型线丛K_M~*是正的,所以存在K(?)hler度量ω和一些s∈(0,n)使得向量丛G=T~*M(?)K_M~(*1/s)是Griffiths正的,即(M,ω)满足曲率条件(Q_s),即满足定理0.0.8的条件。另外,如果令s_0是满足条件的s的严格上界,可以证明s_0只和流形M的维数有关。 推论0.0.10如果f:C~n→p~n关于标准度量是有界2s-失真的全纯映射,0<s<(?),那么f是常值映射,并且(?)是精确的。 要证明这个定理,首先我们知道复映射空间p~n是紧的K(?)hler流形,并且是连通的,所以它是完备的K(?)hler流形。并且当0<s<(?)时,P~n关于Fubini-Study度量ω_(FS)是满足曲率条件(Q_s)的,所以f满足定理0.0.8的条件,故f是常值映射。 然后我们考虑一个特殊的例子f(z_1,…,z_n)=[1,z_1,…,z_n],通过计算得到它关于C~n上的欧几里德度量ω_C=(?),和p~n上的Fubini-Study度量ω_(FS),是有界(n+1)-失真的,并且对任意的0<s<(?),都不是有界2s-失真的。所以(?)是精确的。 在这几个定理的证明过程中,我们用到了Bochner技巧。第三章里,我们在那些切丛上具有任意度量联络(比Levi-Civita联络更一般)的紧的Hermitian流形(可能是非全纯的)上,把Bochner技巧推广到了Hermitian复向量丛上,并用它研究了调和函数的解析性,主要得到了以下三个结果(文献[]): 定理0.0.11设(?)是Hermitian流形(M,ω)的一个全纯切丛T~(1,0)M上的度量联络,(?)是Hermitian复向量丛E上的度量联络,于是就有这里L~2是(M,ω)上的度量,L(·):ωΛ·,Λ_ω是L(·)的伴随算子,(?)是曲率(?)的(1,1)部分。 Bochner公式最初是由Bochner定义在黎曼流形上的,然后给出了紧的K(?)hler流形和紧的K(?)hler-Einstein流形上的形式(文献[])。要证明这个定理,我们知道Hermitian流形的全纯切丛上的度量联络(?)可以分解为(?),同时协变微分算子(?)也能推广到(p,q)-形式上,记为(?),于是(?)存在自然的分解(?),通过计算得到Hermitian流形上的Bochner公式。从这个式子也可以看出,如果(?)是对称的度量,那么 定理0.0.12令f:(N,ω_N)→(M,ω_M)是紧的K(?)hler流形(N,ω_N)和紧的Hermitian流形(M,ω_M)之间的一个调和映射。如果行列式T~(1,0)N(?)f~*(T~(1,0)M)是Nakano半正定的,并且在一些点是正定的,那么f是全纯的。这个结果说明了流形之间的调和映射的解析性质。要证明这个定理,首先我们知道f是调和的,则(?)。然后由定理0.0.11得到(?)=0,并且在(?)的展开式中,由于行列式T~(1,0)N(?)f~*(T~(1,0)M)的Nakano半正定性,得到(?),最后根据它在一些点是Nakano正定的以及Aronszajn原理,得到(?)。 定理0.0.13令f:(N,ω_N)→(M,ω_M)是紧的K(?)hler流形之间的调和映射。如果M的曲率张量是强半负定的,对于N内一些rank_Rdf≥4的点P,f(P)是强负定的,那么f全纯或者是反全纯函数。这是Siu通过分析调和函数的特征值得到的著名的刚性结果(文献[]),他的证明是非常复杂的。本文通过运用推广的Bochner公式极大地简化了他的证明。


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